[15.01-15.02.2024] Олимпиада Учитель Школы Будущего Контрольные задания по Математике

В олимпиаде школы будущего по математике могут принять участие ученики 5-11 классов. Олимпиада стартует в этом году 15 января и продлится до 15 февраля 2024г. Победители и призеры могут претендовать на дополнительные баллы при поступлении в Московский городской педагогический университет. На нашей образовательной платформе Вы найдете Официальные Задания и Ответы для 5-7, 8-9 и 10-11 классов.

5-7 класс Математика

1. Разгадайте ребус и прочтите сообщение, расположив буквы по возрастанию соответствующих им числовых значений.

Ответ

2. Артем, Рома и Тимофей публикуют в социальной сети посты о прочитанных книгах. Тимофей решил публиковать посты раз в 6 дней, Рома – раз в 8 дней, а Артем – раз в 10 дней. Однажды, 31 августа 2023 г., оказалось, что они опубликовали свои посты одновременно. В одном из месяцев этого же года дни их публикаций снова совпадут. Укажите, какого числа это произойдёт. В ответе укажите только число, без месяца.
Ответ

3. Выполняя задание «Найти сумму пяти данных чисел» Саша отвлекся, переписывая числа с доски, поэтому некоторые цифры он записал неправильно. В первом числе в разряде десятков вместо цифры 3 должна быть цифра 5, во втором числе в разряде сотен вместо цифры 8 должна быть цифра 6, в третьем числе в разряде единиц вместо цифры 1 должна быть цифра 7, в четвёртом числе в разряде десятков тысяч вместо цифры 5 должна быть цифра 3, в пятом числе в разряде тысяч вместо цифры 4 должна быть цифра 9. Сложив пять записанных в тетради чисел, Саша получил 32576. Найдите число, которое он должен был получить при правильной записи условия задания.
Ответ

4. Велосипедисты тренировались на круговой дорожке. Гена и Коля стартовали из одной точки в одном направлении. Коля на 3 км/ч мчался быстрее Гены. Скорость Гены 40,5 км/ч. Через сколько кругов Коля догонит Гену в месте старта. Длина круга 500 м.
Ответ

5. Система счисления индейцев майя была позиционной двадцатиричной, то есть 20 единиц меньшего разряда составляли единицу большего разряда. Числа майя записывали вертикально и, при этом, использовали всего три вида значков: точку. горизонтальную черту и изображение раковины. Раковина обозначала пропуск разряда (ноль). Рассмотри рисунок и определи, какое число тут записано?

Ответ

6. Сторона квадрата, изображенного на рисунке, равна б. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

7. Пятиклассник зарегистрировался на сайте одного электронного образовательного ресурса. При регистрации было предложено придумать кодовую фразу из нескольких слов, которая могла понадобиться в некоторых случаях. Пятиклассник придумал фразу и решил её записать в тетрадь. Но сразу понял, что не хотел бы, чтобы эту кодовую фразу смог узнать кто-либо другой. Поэтому он решил быстро придумать шифр, по которому просто заменял одну букву на другую вот по такому ключу:

Каждую букву исходного текста нужно заменить на букву, стоящую справа от неё в составленном пятиклассником ключе. Причём если справа от буквы ничего не стоит, то это значит, что букву надо заменить на первую слева букву в этой строке (например, буква Э заменяется на букву А, буква П – на букву Б, буква Ч – на букву В и т.д.). Но этот шифр довольно прост, поэтому было решено для того, чтобы хоть как-то усложнить расшифровку, применить его 333 раза. А получившуюся последовательность он зашифровал дважды, заменяя буквы по этому же ключу, но по вертикали (т.е. заменяя каждую букву на букву, стоящую снизу). Также он произвольно добавил пробелы. У него получилось вот так:
ЙДА УЙГ ЧЦАК ЧЦАВ ЫК
Выясните какую кодовую фразу зашифровал пятиклассник. В ответ запишите фразу без пробелов, точек и запятых
Ответ

8. На школьной спартакиаде в забеге участвовали пятеро друзей: Андрей, Борис, Витя, Гоша и Денис. Запишите первые буквы имен мальчиков (без пробелов) в том порядке, в котором ребята пришли к финишу, если известно, что ни Витя, ни Денис не были ни первыми, ни последними, но Виктор финишировал раньше Дениса. А Андрей рассказал, что Гоша прибежал четвертым, но Боря его опередил.

8-9 класс Математика

1. В XII веке у цистерцианцев была десятичная система счислення. Для записи чисел они использовали 9 знаков, которые пририсовывали к вертикальной черте (посоху) сверху или снизу, справа или слева, в зависимости от того, означал этот знак количество единиц, десятков, сотен или тысяч. Рассмотри рисунок и определи, какое число тут записано.

Ответ

2. Решите уравнение:

Ответ

3. B трапеции ABCD боковая сторона AB = 9 перпендикулярна основаниям AD = 7 и ВС = 5. На прямой АВ отмечена точка Х. Найдите наименьшее значение суммы длин отрезков СХ и DX в зависимости от выбора точки Х
Ответ

4. Курьеры должны были доставить пакеты с документами к началу встречи из двух пунктов, находящихся на расстоянии 12 км друг от друга. Курьеры выехали на велосипедах одновременно в одном направлении. Однако встречу перенесли на час раньше, и курьеру из дальнего пункта пришлось увеличить скорость на 5 км/ч, а из ближнего – на 4 км/ч. Какова первоначальная скорость курьера, выехавшего из ближнего к месту встречи пункта?
Ответ

5. Алексей приобрел акции компании «АБВГДейка» по цене 500 рублей за штуку. Через год стоимость акции снизилась до 330 рублей. А цены на товары повысились за это время в среднем на 10 процентов. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность денег, вложенных в акции?
Ответ

6. Даны два треугольника АВС и MNK, углы В и N – прямые, известно, что NK в два раза больше AB, MN – на 8 см больше NK, AB на 4 см меньше ВС. Найдите натуральное значение АС, при котором отношение площадей треугольников MNK и АВС будет натуральным числом.
Ответ

7. АВС – треугольник. На сторонах АС, АВ, ВС лежат точки A1, B1, С1 соответственно, причем (CA1:|A1A|=|AB1:|B1B|=|BC|:|C1C|=2:3. Ha сторонах A1C1, A1B1, B1C1 треугольника А1В1С1 лежат точки А2, В2, С2 соответственно, причем |C1A2|:|A2A1|=|A.B2|:|B2B1|=|B1C2|:|C2C1=3:2. Вычислить отношение площади треугольника А2В2С2 к площади треугольника АВС.
Ответ

8. На доске написаны числа 1, 2, … , 100. За одну операцию можно стереть любые два числа а и в и вместо них написать число а + b – 5. Чему будет равна сумма оставшихся на доске чисел после 50 таких операций?

10-11 класс Математика

1. Дан квадратный трехчлен f(x) = x2 + ax + b, коэффициенты а,b которого являются рациональными числами. Найдите f(-1), если f(1 – √2) = 5.
Ответ

2. Решите уравнение:

Ответ

3. Укажите длину промежутка, являющегося решением неравенства

Ответ

4. Диагональ АС’ прямоугольного параллелепипеда ABCDA’B’C’D’ перпендикулярна плоскости A’BD. Найдите тангенс угла между прямой B’D и плоскостью основания ABCD. Ответ округлите до сотых и запишите в виде десятичной дроби. Пример записи ответа: 1,23.
Ответ

5. У Юры модель мобильного телефона, которая кажется ему устаревшей. Ему хочется купить новую модель. Когда появилась новая модель телефона, которую хотелось купить Юре, то ее стоимость в среднем была 95 000 рублей. Продать свой телефон он может за 8 000 рублей. Юра решил откладывать карманные деньги, которые ему дают родители каждую неделю в размере 2 000 рублей, на то, чтобы скопить недостающую сумму. Наблюдая в Интернете за стоимостью новой модели телефона, он заметил, что с каждой неделей она снижается на 2 % от первоначальной стоимости. В то же время цена, за которую он может продать свой телефон, тоже падает с каждой неделей на 0,5 % от первоначального значения. Через сколько недель суммы, которую мальчик выручит с продажи своего старого телефона и накопит карманными деньгами, станет достаточно, чтобы купить новый телефон? Ответ округлите до целого значення с учетом того, что карманные деньги Юре дают в начале каждой недели.
Ответ

6. Найти остаток при делении 15231 на 14.
Ответ

7. ABCDEF – шестиугольник, в котором АВ = 3, BC = 6, CD = 4, DE = 5, EF = 7,FA = 2. Пусть А, – точка пересечения медиан треугольника ABF, B1 – точка пересечения медиан треугольника АВС, C1 – точка пересечения медиан треугольника BCD, D1 – точка пересечения медиан треугольника CDE, E1 – точка пересечения медиан треугольника DEF, F1 – точка пересечения медиан треугольника EFA. Обозначим через М точку пересечения отрезков А1 D1 и В1Е1, через N – точку пересечения отрезков G1F1 и В1Е1, через К – точку пересечения отрезков C1F1 и А1D1. Вычислить периметр MNK.