Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 3 группа 11 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 11 класс 20.10.2023

Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (20 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)

Задание 1
Жора бежит дистанцию в 100 метров. Он стартует со скоростью один метр в секунду, но, к сожалению, довольно быстро утомляется. После каждых 11 метров пути Жора решает, что надо бежать в два раза медленней. Сколько секунд пройдёт, прежде чем Жора достигнет финиша?

Задание 2
График квадратного трёхчлена y=ax2+bx+c пересекает прямую y=c1 в точках (10, c1) и (20, c1), а прямую y=c2 —— в точках (7, c2) и (x0, c2). Найдите число x0.

Задание 3
Вершина C невыпуклого четырёхугольника ABCD лежит внутри треугольника ABD. Известно, что ∠ABD=∠BCD=90∘. Пусть M —— середина диагонали BD. Известно, что AM=3, CM=2. Найдите AD2.

Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 3 группа 11 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Задание 4
Линейная функция p(x)=kx+l такова, что для некоторого действительного a выполнено p(a)=2, p(p(a))=18, p(p(p(a)))=178. .Найдите a.

Задание 5
В коробке лежат n шариков трёх цветов: красного, синего и зелёного. Если достать из неё любые 57 шариков, то среди них обязательно окажется по крайней мере 11 синих и хотя бы по 9 красных и зелёных. При каком наибольшем n такое возможно?

Задание 6
Сколькими способами квадрат 13×13 можно разбить на прямоугольники, среди которых есть по два вертикальных и по два горизонтальных прямоугольника 1×12, 1×10, ……, 1×2 и один квадрат 1×1?

Задание 7
Точка O —— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, все углы которого измеряются целым числом градусов. Точка X внутри треугольника такова, что CX⊥AB и ∠ABX:∠XBC=2:3. Оказалось, что точки B, O, X, C лежат на одной окружности. Какое наибольшее значение может принимать величина угла ∠A?
Напомним, что остроугольным называется треугольник, каждый угол которого строго меньше 90∘.

Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 3 группа 11 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Задание 8
Для натуральных чисел a и b обозначим через f(a,b) наименьшее натуральное число c такое, что НОД(a,c)>1 и НОД(b,c)>1. Натуральные числа x, y и z таковы, то f(x,y)=303, f(y,z)=1111. Сколько значений может принимать f(x,z)?