На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2016/2017 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Школьный этап по Математике 7 класс 2016/2017
Задание 1. Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых
в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие
это свойство.
Ответ. Например 1/2 и 1/5.
Решение. 1/2—1/5=5-2/10=3/10, 1/2×1/5=1/10.
Задание 2. Покажите, как разрезать фигуру на три части и сложить из них
квадрат.
Решение.
Первый способ.
Второй способ.
Возможны и другие решения
Задание 3. На доске написано число 49. За один ход разрешается либо
удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько
ходов получить число 50?
Ответ. Можно.
Решение. Число 50 можно получить, удвоив 25, а 25 можно получить, стерев
последнюю цифру числа 256, которое является степенью двойки. Таким
образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:
49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50
Задание 4. Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали
следующее:
Андрей: Владимир сильнее меня.
Борис: Я умнее Владимира.
Владимир: Борис умнее меня.
Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный
соврал и среди них нет двух людей, равных по силе.
Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый?
Обоснуйте свой ответ.
Ответ. Да.
Решение. Обозначим: А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир. Утверждения Б
и В повторяют друг друга, а так как имеется только одно неверное утверждение
среди трёх, Б и В сказали правду, А — ложь. Следовательно, А самый умный
(по условию), А сильнее В (так как А соврал) и Б умнее В (так как Б и В сказали
правду). Раз А сильнее В, то В не самый сильный. Получается, что самый
сильный Б, средний по силе А, самый слабый — В. При этом В не самый
умный и не самый сильный, значит, он самый добрый.
Для наглядности можно занести имеющуюся информацию в таблицу. Будем
обозначать «места» каждого качества: 1 — первое место (самый умный /
сильный / добрый), 2 — среднее, 3 — последнее место.
Из таблицы видно, что В — самый добрый и самый слабый
Задание 5. Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро
за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и
встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени
Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но
в обратном направлении?
Ответ. Через 4 минуты.
Решение. Так как мама полностью обходит озеро за 12 минут и встречает Ваню
раз в 12 минут, за 12 минут Ваня проезжает вокруг озера ровно 2 раза,
а мама — один. Значит, скорость Вани в 2 раза больше скорости мамы. Отсюда
следует, что, когда Ваня ехал в том же направлении, что и мама, скорость их сближения была равна скорости мамы. Если Ваня будет ехать в противоположном направлении, то скорость их сближения будет равна трём скоростям мамы, то есть будет в три раза больше. Значит, он будет встречать маму в три раза чаще, то есть через каждые 4 минуты.
Это рассуждение можно провести, введя обозначение для длины дорожки.
Пусть l — длина дорожки вокруг озера (в метрах), тогда скорость мамы равна I/12
(м/мин), а скорость Вани — l/6 (м/мин). Скорость сближения в случае, если мама и Ваня едут навстречу друг другу равна 3l12=l/4 (м/мин). Следовательно, с такой скоростью они преодолеют вместе l метров за 4 минуты, т. е. будут встречаться раз в 4 минуты.