[01.10.2023] Школьный этап по Математике 8 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

[01.10.2023] Школьный этап по Математике 2023-2024 г. Московская область 50 регион
Приобрести ответы ко всем заданиям

1. В поисках правды

В данном задании может быть несколько верных ответов. Укажите все, которые Вы считаете верными, однако обратите внимание, что в случае, если не все верные ответы отмечены или отмечен неверный вариант, балл снижается.

Выберите верные утверждения.

Если некоторое положительное число увеличить на 80%, а потом уменьшить на 15%, то можно сказать, что всего оно увеличилось более, чем в полтора раза.

Сумма двух чисел всегда больше каждого из слагаемых.

Произведение трёх чисел всегда больше произведения двух чисел.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Медиана треугольника всегда разбивает его два других — остроугольный и тупоугольный.

2. День рождения

1 октября 2023 года друзья собрались на Дне рождения Саши. 
Алёна сказала: “Мой день рождения был Х дней назад”.
Катя сказала: “Мой день рождения был Х месяцев назад”.
Саша сказал: “Через Х месяцев останется 4 месяца до дня рождения Кати”.

а) В каком месяце у Алёны День рождения?
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь

б) Какого числа у Алёны День рождения? В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Укажите ТОЛЬКО число. Пример: 3

3. Какая разница?

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Известно, что х-3y=2 . Чему равна разность чисел (в указанном порядке) 2х+7 и 6y? 

4. Равносторонние треугольники

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

В треугольнике ABC угол В=30. Вне треугольника ABC отмечены точки A1 и C1 так, что треугольники ABC1 и BCA1 равносторонние, и точки A и A1 лежат по разные стороны от прямой BC, а точки C и C1 — по разные стороны от прямой AB. Оказалось, что AA1 перпендикулярно BC и CC1=20. Найти AC1.

5. Вырезания тетраминошек

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Какое наибольшее число одинаковых четырёхклеточных фигурок можно вырезать из клетчатой фигуры, представленной на рисунке?
Примечания. Если фигурка получена из другой фигурки с помощью поворота и/или переворота, то эти фигурки считаются одинаковыми.

6. Авторы задач

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Олимпиада по математике проходит только для учеников 4, 5, 6 ,7 классов. Известно, что на ней ученикам 4, 5, 6 классов предлагается решить вариант, состоящий из шести задач, а ученикам 7 класса – из семи задач. Составители заданий знают, что задачу для 4 класса можно также использовать для составления варианта 5 класса (но не для других классов), задачу 5 класса – для 4 и 6 (но не для других классов), задачу 6 класса – для 5 и 7 (но не для других классов), задачу 7 класса – для 6 (но не для других классов). При этом не должно совпадать более двух задач в вариантах соседних классов (четвёртого с пятым, пятого с шестым и шестого с седьмым). Какое наименьшее количество задач надо ещё придумать составителям, если они уже придумали одну задачу для пятого класса и одну задачу для шестого?

7. Нам любые дороги дороги

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

На первом острове 13 городов, а на втором острове 16 городов. Между некоторыми городами есть дороги, при этом любые два города соединены не более чем одной дорогой. Каждая дорога соединяет ровно два различных города. Жители этих двух островов решили построить 230 дорог. 

а) Какое наибольшее количество дорог можно построить между городами первого острова? Укажите ТОЛЬКО число.

8. В чём правда?

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Все жители острова рыцари или лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы всегда говорят только ложь. Однажды 100 жителей этого острова выстроились в ряд друг за другом так, что первый не видел никого перед собой, второй видел первого, третий видел первого и второго, и так далее. Никаких других посторонних рядом не было. Первый всё время молчал. Второй и все остальные, стоящие на чётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше одного рыцаря». Третий и все остальные, стоящие на нечётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше двух лжецов».

а) Какое наименьшее число рыцарей могло стоять в этом ряду? Укажите ТОЛЬКО число.

б) Какое наибольшее число рыцарей могло стоять в этом ряду? Укажите ТОЛЬКО число.