Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 1 группа 10 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 10 класс 18.10.2023

Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (18 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)

Задание 1
Хоккейный матч состоит из трёх равных по игровому времени периодов. «Вымпел» на протяжении всей игры владел шайбой 46 процентов времени, а за последние два периода —— 52 процента времени.
Сколько процентов времени «Вымпел» владел шайбой в первом периоде?

Задание 2
Арифметическая прогрессия a1,a2,…,a72имеет разность d=3. Найдите значение выражения

−a1−a2+a3+a4−a5−a6+a7+a8−… −a69−a70+a71+a72.
Выражение начинается с двух слагаемых со знаком «минус», затем два слагаемых со знаком «плюс» и т.д.

Задание 3
Вася расставил в некоторые k клеток шахматной доски 8×8 по ладье. Оказалось, что на доске ровно 15 клеток, которые не бьёт ни одна ладья. Найдите наибольшее возможное k.
Ладья бьёт все клетки своего столбца и своей строки.

Задание 4
На место каждой из двух звёздочек в числе 75∗631∗ ставят любую из десяти цифр (с одинаковой вероятностью). Найдите вероятность того, что полученное семизначное число делится на 15. Ответ выразите в процентах.

Задание 5
Окружность ω ограничивает круг площади 81π. Внутри окружности ω расположены две окружности ω1 и  ω2, касающиеся ω и касающиеся друг друга внешним образом (см. рисунок). Найдите периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, ω1 и  ω2.

Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 1 группа 10 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Задание 6
В окружности проведены 22 диаметра, причём среди них нет двух перпендикулярных. Все их концы покрасили синим, а центр окружности — красным. Найдите количество тупоугольных треугольников, у которых одна вершина красная и две вершины — синие.

Задание 7
Дано произведение нескольких натуральных чисел. Если в этом произведении один из множителей увеличить на число k, то произведение увеличится в 22 раза. А если в этом произведении другой сомножитель увеличить на число k, то произведение увеличится в 16 раз.
При каком наименьшем k такое возможно?

Задание 8
Парабола y=x2+x+c (где c — некоторое число) пересекает параболу y=−x2+25x в точках A и B. Найдите абсциссу середины отрезка AB.