Школьный этап ВсОШ по Математике “Сириус” 2 группа 9 класс 2023-2024 (Задания и Ответы)

Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 9 класс 17.10.2023

Задания и ответы ВсОШ Сириус по Математике 2023-2024 (17 октября 2023)
Приобрести задания и ответы (все варианты)

Задание 1.
Вариант 1: Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью v1 – на 15% меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до v2 и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите V2/V1
Вариант 2: Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью v1 – на 20% меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до v2 и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите V2/V1
Вариант 3: Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью v1 – на 35% меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до v2 и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите V2/V1
Вариант 4:

Задание 2.
Вариант 1: В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы 25, 30 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии?
Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.
Вариант 2: В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы 20, 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии?
Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.
Вариант 3:
Вариант 4:

Задание 3.
Вариант 1: Рассмотрим 350 чисел, состоящих из одних девяток:
Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 350 чисел?
Вариант 2: Рассмотрим 250 чисел, состоящих из одних девяток:
Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 350 чисел?
Вариант 3: Рассмотрим 550 чисел, состоящих из одних девяток:
Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 350 чисел?
Вариант 4: Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток:
Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 350 чисел?

Задание 4.
Вариант 1: Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты.
Вариант 2: Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 41. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты.
Вариант 3: Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 45. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты.
Вариант 4: Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000. Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 35. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты.

Задание 5.
Вариант 1: В выпуклом n‑угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n‑угольника равны 63 и 97. Какое наибольшее значение может принимать n?
Вариант 2: В выпуклом n‑угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n‑угольника равны 63 и 96. Какое наибольшее значение может принимать n?
Вариант 3: В выпуклом n‑угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n‑угольника равны 63 и 97. Какое наибольшее значение может принимать n?
Вариант 4: В выпуклом n‑угольнике каждый угол составляет целое число градусов. Известно, что два угла этого n‑угольника равны 64 и 98. Какое наибольшее значение может принимать n?

Задание 6.
Вариант 1: Действительное число a таково, что уравнение ax2 + (a+10)x-10-2a=0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.
Вариант 2: Действительное число a таково, что уравнение ax2 + (a+20)x-20-2a=0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.
Вариант 3: Действительное число a таково, что уравнение ax2 + (a-10)x+10-2a=0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.
Вариант 4: Действительное число a таково, что уравнение ax2 + (a-20)x+20-2a=0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты.

Задание 7.
Вариант 1: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность w. Точка M – середина дуги AD окружности w, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:3:2
Вычислите значение выражения:
Вариант 2: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность w. Точка M – середина дуги AD окружности w, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:5:2
Вычислите значение выражения:
Вариант 3: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность w. Точка M – середина дуги AD окружности w, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:7:2
Вычислите значение выражения:
Вариант 4: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность w. Точка M – середина дуги AD окружности w, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:5:3
Вычислите значение выражения:

Задание 8.
Вариант 1: На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:
Один сказал: «Среди нас не более 9 рыцарей»
Двое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей»
Трое сказали: «Среди нас не более 7 рыцарей»
Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря»
А все остальные сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей»
Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.
Вариант 2: На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:
Один сказал: «Среди нас не более 11 рыцарей»
Двое сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей»
Трое сказали: «Среди нас не более 9 рыцарей»
Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря»
А все остальные сказали: «Среди нас не более 12 рыцарей»
Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.
Вариант 3: На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:
Один сказал: «Среди нас не более 12 рыцарей»
Двое сказали: «Среди нас не более 11 рыцарей»
Трое сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей»
Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря»
А все остальные сказали: «Среди нас не более 13 рыцарей»
Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.
Вариант 4: На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе:
Один сказал: «Среди нас не более 10 рыцарей»
Двое сказали: «Среди нас не более 9 рыцарей»
Трое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей»
Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря»
А все остальные сказали: «Среди нас не более 11 рыцарей»
Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты.