Муниципальный этап ВсОШ в городе Москве, Математике, 10 класс, 2023/24

Официальные задания и ответы муниципального этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 10 класс 30.11.2023

1.Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали. Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски 8×8 Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?

https://uchebnik.mos.ru/cms/system/atomic_objects/files/012/151/417/original/10-1.png

2.Действительные ненулевые числа a и b таковы, что квадратный трёхчлен P(x)=ax2-20ax+b имеет два действительных корня, отличающихся на 2 Найдите меньший из этих корней.

3.Найдите b/a

4.Вписанный четырёхугольник ABC Dтаков, что ∠ADB=40 ∘ и ∠CDB=52 ∘ .Точка M внутри четырёхугольника такова, что ∠BAM=26 ∘ и ∠BCM=20 ∘ .Сколько градусов составляет угол CBM?

5.Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы n слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение n.

6.Различные натуральные числа n и k таковы, что k<n<2k<3n<4k<5n<…<48k<49n<50k. Какое наименьшее значение может принимать n?

7.Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12?

8.Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 10 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на12?

9.Девять посёлков соединены восемью дорогами A,B,C,D,E,F,G,H,как показано на рисунке. Длины дорог равны 1,2,3,…,8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили.

Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.

Муниципальный этап ВсОШ в городе Москве, Математике, 10 класс, 2023/24

10.Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?

11.В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На продолжении отрезка HA за точку A нашлась точка D такая, что ∠DBA=∠CBA. Найдите длину отрезка BD,если известно, что BC=7 и AD=12.