Муниципальный этап ВсОШ в городе Москве, Математике, 11 класс, 2023/24

Официальные задания и ответы муниципального этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников Сириус по Математике 11 класс 30.11.2023

1.(4 балла) Каждое из натуральных чисел a,b,c,d не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения

a+ 1/b+1/c+1/d

2. Дана правильная десятиугольная призма A1A2A3…. A10B1B2..B10,
Некоторая плоскость @ пересекает п её рёбер, не проходя ни через одну из точек А), A1A2A3…. A10B1B2..B10

Какое наименьшее натуральное значение может принимать n ?

4.{3 балла) Какое наибольшее натуральное значение может принимать n?

5. (4 балла) Назовём хорошей пару (a,b) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100;240], если число a+b является целым. Сколько существует хороших пар?

6. Сколько девочек могло быть на уроке? Укажите все возможные варианты.

Если чисел в ответе несколько, введите их в порядке возрастания через запятую; не вводите пробелы и другие лишние символы. Образец: 1,2,3,4,5

7. Клетчатую таблицу назовём разнообразной, если её клетки раскрашены в чёрный и белый цвет так, что во всех строках разное количество чёрных клеток, а также во всех столбцах разное количество чёрных клеток.

Пару натуральных чисел (m,n) назовём подходящей, если существует разнообразная таблица m×n, причём 10 ⩽ 𝑚 ⩽ 20 и 10 ⩽ 𝑛 ⩽ 20. Сколько существует подходящих пар? (Если числа m и n) различны, то пары (m,n) и (n,m) считаются различными.)

8. В окружность ω вписана трапеция ABCD такая, что BCAD ,AD=14 и BC=9.Пусть M — середина дуги AD окружности ω, не содержащей точек B и C. Прямая ℓ касается ω в точке C. Пусть H — снование перпендикуляра, опущенного из M на ℓ.. Найдите длину отрезка CH.

9. P(x) с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных x верно P(x2)=x(1+x2)P(x).

Найдите P(−1).

10. Найдите P(2)/P(5)​.

11. Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит a камней, а на правой — b камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра.

Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее (0). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если a=7 и b=10?

12. Рассмотрим все пары натуральных чисел (a,b) такие, что 1⩽a⩽10 и 1⩽b⩽10. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа a и b различны, то пары (a,b) и (b,a) считаются различными.)