На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2015/2016 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Муниципальный этап по Математике 7 класс 2015/2016
Задание 7.1. На длинной ленте написаны цифры 201520152015 . . .. Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.
Ответ: например, можно вырезать куски «2» и «520» и составить из них число 2520, которое
делится на 45.
Задание 7.2. Заполните квадрат размером 6×6 фигурками тетриса (см. рисунок) так, чтобы
использовать фигурки каждого из указанных видов. (Фигурки можно как поворачивать, так и переворачивать.)
Ответ: например, см. рис. 7.2.
Задание 7.3. На завтрак Карлсон съел 40% торта, а Малыш съел 150 г. На обед Фрекен Бок съела 30% остатка и ещё 120 г, а Матильда вылизала оставшиеся 90 г крошек от торта. Какой массы был торт изначально?
Ответ: 750 г.
Решение. Первый способ (решаем «с конца»).
1) 90 + 120 = 210 (г) торта осталось после того, как Фрекен Бок съела 30% остатка.
Так как Фрекен Бок съела 30% остатка, то 210 г — это 70% остатка.
2) 210 : 0,7 = 300 (г) торта было перед тем, как Фрекен Бок приступила к обеду.
3) 300 + 150 = 450 (г) торта было перед тем, как начал есть Малыш.
Так как Карлсон съел 40% торта, то 450 г составляет 60% торта.
4) 450 : 0,6 = 750 (г) изначальная масса торта
Задание 7.4. За одну операцию можно поменять местами любые две строки
или любые два столбца квадратной таблицы. Можно ли за несколько таких операций из закрашенной фигуры, изображенной на рисунке слева, получить закрашенную фигуру, изображенную на рисунке
справа? Ответ обоснуйте.
Ответ: нельзя.
Решение. Заметим, что фигура, изображенная слева, содержит полностью закрашенный столбец
таблицы, а у фигуры, изображенной справа, такого столбца нет. При любой перестановке столбцов
или строк этот столбец сохранится, так как перестановка столбцов изменяет только его расположение, а перестановка строк не изменяет в нем ничего. Следовательно, никаким количеством указанных операций получить из одной фигуры другую невозможно.
Можно также проводить аналогичное рассуждение не для закрашенного столбца, а для полностью закрашенной строки.
Отметим, что рассуждение типа «при любой перестановке столбцов всегда будет полностью
закрашенный столбец, а при любой перестановке строк всегда будет полностью закрашенная строка» нельзя признать полностью верным, так как, формально говоря, из этого не следует, что перестановка столбцов не может разрушить закрашенную строку, а перестановка строк не может
разрушить закрашенный столбец.
Задание 7.5 На доске записаны 7 различных нечётных чисел. Таня подсчитала их среднее арифметическое, а Даня упорядочил эти числа по возрастанию и выбрал из них число, оказавшееся посередине.
Если из Таниного числа вычесть Данино, то получится число 3\7 . Не ошибся ли кто-нибудь из них?
Ответ: кто-то из них наверняка ошибся.
Решение. Пусть на доске записаны числа a, b, c, d, e, f и g, причем a < b < c < d < e < f < g,
тогда Танино число равно a + b + c + d + e + f + g 7 , а Данино число — это d. Из условия задачи следует, что
a + b + c + d + e + f + g7− d =37, то есть a + b + c + d + e + f + g − 7d = 3.
После приведения подобных слагаемых это равенство можно записать так: a + b + c + e + f + g =
= 6d+3. Заметим, что в левой части полученного равенства стоит сумма шести нечетных слагаемых,которая всегда четна, а в правой части стоит число, которое нечетно при любых целых значенияхd. Таким образом, это равенство выполняться не может, значит, Таней или Даней допущена ошибка(возможно, ошибку допустили оба).