На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2016/2017 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Школьный этап по Математике 8 класс 2016/2017
Задание 1. В рамке 8 × 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.
Сколько клеточек в рамке 254 × 254 шириной в 2 клетки?
Ответ. 2016.
Решение. Первый способ. Разрежем рамку на четыре одинаковых прямоугольника так, как показано на рисунке. Ширина прямоугольников равна
ширине рамки, т. е. 2 клетки. Длина каждого прямоугольника на 2 меньше
стороны рамки: 254 — 2 = 252 клетки. Тогда площадь одного прямоугольника
равна 2 · 252 = 504. А значит, всего в рамке 4 · 504 = 2016 клеток.
Второй способ. Площадь рамки можно получить, если из площади квадрата
254 × 254 вычесть площадь внутреннего квадрата. Сторона внутреннего
квадрата на 4 клетки меньше стороны большого. Значит, площадь рамки равна
2 2 254 250 (254-250)(254+250) 4 504 2016. − = − + = ⋅ =
Замечание. Если обозначить сторону рамки через n, то можно доказать
(например, описанными выше способами), что её площадь будет равна 8n — 16
клеток
Задание 2. Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок.
Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет
сумма цифр произведения?
Ответ. 8.
Решение. Всего перемножается 20 двоек и 17 пятёрок. Переставим
сомножители, чередуя двойки и пятёрки. Получится 17 пар 2 · 5 и ещё три
двойки, дающие в произведении 8. Итак, число 8 нужно 17 раз умножить на 10.
Получается число, состоящее из цифры 8 и 17 нулей. Сумма цифр равна 8.
Другой способ записи тех же рассуждений можно получить, используя
свойства степеней:
220 517 23 217 517 17 17 2 5 2 2 5 8 (2 5) 8 10 800 000 000 000 000 000.
Задание 3. В выражении Р А З Р Е З А Й С Р А З У замените каждую из букв Р, А,
З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые
цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения
получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.
Ответ. Наибольшее значение равно 36,5 и достигается, например, при C = 1, У = 2, Е = 9, Й = 8, Р = 4, А = 5, З = 6.
Задание 4. В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 включённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате
есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп».
Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное.
Сколько ламп включено?
Ответ. 9.
Решение. Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба
неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше
трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию.
Первое и второе утверждения также не могут быть одновременно неверными.
Значит, среди утверждений 1 и 3 есть верное, и среди утверждений 1 и 2 есть
верное. Поскольку верное утверждение всего одно, это утверждение 1,
а остальные утверждения неверны.
Значит, в комнате меньше трёх выключенных ламп (так как утверждение 3
неверно). Тогда включённых ламп хотя бы восемь, причём их количество
нечётно (так как утверждение 4 неверно). Значит, их девять.
Задание 5. Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего
четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести
измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие —
к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре
одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка
обрадовался и сделал вывод, что его участок — квадрат. Обязательно ли это так?
Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» —
привести опровергающий пример и его обосновать.
Ответ. Нет, необязательно.
Решение. Построим равносторонний треугольник ABC и на биссектрисе его угла B отложим отрезок BD, равный АВ. В четырёхугольнике ABCD имеем AB = BC = CA = BD (по построению) и AD=DC (например, из равенства треугольников BAD и BCD по двум сторонам и углу между ними). Очевидно, что построенный четырёхугольник не является квадратом (например, так как угол ABC равен 60о ). Участок Незнайки мог иметь форму этого четырёхугольника.
Замечание. Возможен и участок невыпуклой формы,
обладающий теми же свойствами.
Задание 6. Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой
бумаги.
Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя
над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между
блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки.
Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?
Ответ. Нет, не могут.
Решение. Предположим, что это случилось, и рассмотрим тот момент, когда
все четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Попросим ту блоху,
которая совершала последний прыжок, прыгнуть обратно. При этом она должна
будет снова перелететь через какую-то из других блох вдоль соединяющего их отрезка, т. е. должна будет остаться на той же прямой. Значит, секунду назад
все блохи тоже сидели на одной прямой! Но мы рассматривали тот момент,
когда четыре блохи впервые оказались на одной прямой. Полученное
противоречие доказывает, что наше предположение неверно и все четыре блохи
не могли оказаться на одной прямой.
Замечание. Другой, более сложный способ решения задачи можно получить,
если ввести систему координат, в которой вершины исходного квадрата имеют
координаты (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), и разделить все целочисленные точки на
четыре типа: те, у которых обе координаты чётны: (Ч; Ч), те, у которых обе
нечётны: (Н; Н), и те, у которых чётна только одна из координат: (Ч; Н) и (Н; Ч).
Можно точки каждого типа покрасить в свой цвет.
Заметим, что при каждом прыжке обе координаты прыгнувшей блохи меняются
на чётное число единиц, т. е. чётность координат не меняется. Четыре вершины
квадрата имеют разный тип: (Ч; Ч), (Ч; Н), (Н; Ч) и (Н; Н). Однако можно
доказать, что на любой прямой встречаются вершины только двух каких-то
типов (например, только (Ч; Н) и (Ч; Ч)). Значит, на каждой прямой могут
оказаться максимум две блохи (сидевшие вначале в вершинах тех двух типов,
которые присутствуют на прямой). Итак, оказывается, что не только четыре, но
и три блохи на одной прямой оказаться не могут.