На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2015/2016 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Муниципальный этап по Математике 8 класс 2015/2016
Задание 8.1. Натуральное число n называется «хорошим», если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на n. Запишите десять «хороших» чисел, которые меньше, чем 1000. (Достаточно привести ответ.)
Ответ: любые 10 чисел из набора: 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 200, 250, 500.
Задание 8.2. Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвертому — столько же, сколько второму и третьему. Пятому — столько же, сколько третьему и четвертому. Шестому — столько же, сколько четвертому
и пятому. А седьмому не досталось — каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г
каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Ответ: 40 г.
Решение. Пусть первому птенцу досталось m г каши, а второму — n г. Тогда третьему досталось
m + n (г), четвертому — m + 2n (г), пятому — 2m + 3n (г), шестому — 3m + 5n (г). Следовательно,
всего было каши: m + n + (m + n) + (m + 2n) + (2m + 3n) + (3m + 5n) = 8m + 12n = 4(2m + 3n) (г). Это
в 4 раза больше, чем досталось пятому птенцу, значит, сорока-ворона сварила 10 · 4 = 40 (г) каши.
Задание 8.3. ABCD — выпуклый четырехугольник. Известно, что ∠CAD = ∠DBA = 40◦ , ∠CAB = 60◦ ,
∠CBD = 20◦ . Найдите угол CDB.
Ответ: 30◦.
Решение. Так как ∠CAB = 60◦ , ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 60◦ , то треугольник ABC — равносторонний (см. рис. 8.3а). Далее можно рассуждать по-разному.
Задание 8.4. Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
Ответ: 11.
Решение. Оценка. Заметим, что все стулья одновременно занять невозможно, так как в тот момент, когда сядет человек на последний незанятый стул, один из его соседей встанет. Следовательно, одновременно сидящих может быть не больше, чем 11.
Пример. Покажем, как посадить 11 человек. Пронумеруем стулья числами от 1 до 12. Первый
стул занять легко. Второй стул займем в два этапа. На первом этапе человек садится на третий стул, а на втором этапе посадим человека на второй стул, а сидящий на третьем стуле встанет. Дальше действуем аналогично: если заняты стулья с номерами от 1 до k, то сначала посадим человека на стул с номером k + 2, а затем посадим на стул с номером k + 1, освобождая при этом стул с номером k + 2. После того как эта операция будет проделана для всех k от 1 до 10, стулья с номерами от 1 до 11 будут заняты, а двенадцатый стул — свободен.
Задание 8.5. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена произвольная точка M. Докажите, что можно выбрать на стороне AB точку C1, на стороне BC — точку A1, а на стороне AC — точку B1 таким образом, чтобы длины сторон треугольника A1B1C1 были равны отрезкам
MA, MB и MC.
Решение. Отметим на стороне AB точку C1, на стороне BC точку A1, а на стороне AC точку B1 таким образом, что MC1 k BC, MA1 k AC, MB1 k AB (см. рис. 8.5). Тогда отрезки MA1, MB1 и MC1 разобьют данный треугольник на три трапеции. Из параллельности следует, что каждый угол при
большем основании этих трапеций равен 60◦ , поэтому эти трапеции равнобокие. Следовательно, в каждой трапеции диагонали равны: B1C1 = MA, A1C1 = MB, A1B1 = MC, что и требовалось.
Задание 8.6. В каждой клетке таблицы размером 13 × 13 записано одно из натуральных чисел от 1 до 25.
Клетку назовем «хорошей», если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках
одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из
главных диагоналей оказаться «хорошими»?
Ответ: нет, не могут.
Решение. Для каждой клетки одной из главных диагоналей будем рассматривать совокупность
из двадцати пяти клеток: ее саму и все клетки, стоящие с ней в одной горизонтали или вертикали.
Такую совокупность назовем «крестом».
Рассмотрим все «кресты», образованные клетками выделенной главной диагонали. Заметим, что
любая клетка этой диагонали входит только в один «крест» (свой собственный), а любая другая
клетка таблицы входит ровно в два таких «креста».
Далее можно рассуждать по-разному:
Первый способ. Рассмотрим натуральное число от 1 до 25, отсутствующее на выделенной главной
диагонали (такое наверняка найдется, так как на диагонали всего лишь 13 клеток). Пусть все клетки главной диагонали — «хорошие», тогда это число входит в каждый из тринадцати «крестов» ровно один раз. Но любое число, стоящее вне главной диагонали, должно входить в два «креста», поэтому все кресты должны разбиваться на пары, а для тринадцати «крестов» это невозможно. Противоречие.
Второй способ. Для того, чтобы число 1 встретилось в каждом из 13 «крестов», оно должно быть
записано в таблицу не менее семи раз. Это же можно сказать о каждом из двадцати пяти данных
чисел. Значит, для того, чтобы все клетки рассматриваемой главной диагонали были «хорошими»,
потребуется заполнить не менее, чем 7 · 25 = 175 клеток. Но в таблице всего 13 · 13 = 169 клеток.
Противоречие.
Таким образом, все клетки главной диагонали не могут оказаться «хорошими».