На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2015/2016 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Муниципальный этап по Математике 9 класс 2015/2016
Задание 9.1. Известно, что a 2 + b = b 2 + c = c 2 + a. Какие значения может принимать выражение
a(a2 − b 2 ) + b(b2 − c 2 ) + c(c2 − a 2 )?
Ответ: 0.
Решение. Из условия следует, что a 2 − b2 = c − b, b2 − c2 = a − c и c2 − a2 = b − a. Следовательно,a(a2 − b2) + b(b2 − c2) + c(c2 − a2) = a(c − b) + b(a − c) + c(b − a) = 0.
Задание 9.2. Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?
Ответ: да.
Решение. Таким свойством обладают, например, числа 299 и 300. Действительно, 2 · 9 · 9 : 3 = 54.
Эти два числа — наименьшие из возможных. Другие примеры получатся, если выбрать любые
два последовательных числа, оканчивающиеся на 299 и 300.
Задание 9.3. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. На стороне
AB выбрана точка P, а на продолжении стороны AC за точку C — точка Q
так, что отрезок PQ касается окружности. Докажите, что ∠BOP = ∠COQ.
Решение. Первый способ. Центр окружности, вписанной в угол, лежит
на его биссектрисе. Применяя для треугольника BOP теорему о внешнем
угле (см. рис. 9.3), получим: ∠BOP = ∠APO − ∠ABO = 1 2∠APQ −12∠ABC. Аналогично, для треугольника COQ : ∠COQ = ∠ACO − ∠AQO =12∠ACB −1
∠AQP. Осталось убедиться, что ∠APQ − ∠ABC =
= ∠ACB − ∠AQP. Это равенство равносильно тому, что ∠APQ + ∠AQP = ∠ABC + ∠ACB, которое,
очевидно, выполняется, так как каждая его часть равна 180◦ − ∠BAC.
Второй способ. Заметим, что для треугольника PAQ данная окружность также является вписанной (см. рис. 9.3). Значит, O — точка пересечения биссектрис как в треугольнике BAC, так и в
треугольнике PAQ. Следовательно, ∠BOC = 90◦ +12∠BAC = ∠POQ. Тогда ∠BOP = ∠POQ − ∠BOQ = ∠BOC − ∠BOQ = ∠COQ, что и требовалось.
Задание 9.4. Из Златоуста в Миасс выехали одновременно «ГАЗ», «МАЗ» и «КамАЗ». «КамАЗ», доехав до Миасса, сразу повернул назад и встретил «МАЗ» в 18 км, а «ГАЗ» — в 25 км от Миасса. «МАЗ», доехав до Миасса, также сразу повернул назад и встретил «ГАЗ» в 8 км от Миасса. Каково расстояние от Златоуста до Миасса?
Ответ: 60 км
Задание 9.5. Квадрат ABCD и равнобедренный прямоугольный треугольник AEF(∠AEF = 90◦) расположены так, что точка E лежит на отрезке BC (см. рисунок). Найдите угол DCF.
Ответ: 45◦.
Задание 9.6. В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, …, 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири — целое число килограммов?
Ответ: 6 чисел.