[01.10.2023] Школьный этап по Математике 11 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

[01.10.2023] Школьный этап по Математике 2023-2024 г. Московская область 50 регион
Приобрести ответы ко всем заданиям

1. Логично ли?

В данном задании может быть несколько верных ответов. Укажите все, которые Вы считаете верными, однако обратите внимание, что в случае, если не все верные ответы отмечены или отмечен неверный вариант, балл снижается.

Выберите верные утверждения.

Существует центральный угол больше развёрнутого.

Произведение двух различных иррациональных чисел – число иррациональное.

Отношение косинусов двух углов может быть больше 10.

Если a > b, то a2 > b2 , где a и b – некоторые числа.

Диагональ четырёхугольника всегда лежит внутри этого четырёхугольника.

2. День рождения

1 октября 2023 года друзья собрались на Дне рождения Саши. 
Алёна сказала: “Мой день рождения был X дней назад”.
Катя сказала: “Мой день рождения был X месяцев назад”.
Саша сказал: “Через X месяцев останется 6 месяцев до дня рождения Кати”.

а) В каком месяце у Алёны День рождения?
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь

б) Какого числа у Алёны День рождения? В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Укажите ТОЛЬКО число. Пример: 3

3. Лишние страницы

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Журнал состоит из  листов, и каждая из двух сторон листа – это страница. Все страницы журнала занумерованы подряд идущими натуральными числами, начиная с . Олег вырвал из этого журнала первые несколько листов так, что количество цифр в нумерации страниц вырванной части оказалось равным количеству цифр в нумерации страниц оставшейся части журнала.

а) Сколько цифр было на всех страницах вырванной части? Укажите ТОЛЬКО число.

б) Сколько листов вырвал Олег? Укажите ТОЛЬКО число.

4. Хитрое выражение

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Известно, что 2x+18y-3=0. Найдите возможные значения выражения  

[01.10.2023] Школьный этап по Математике 11 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

5. Вырезания пентаминошек

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Какое наибольшее число одинаковых пятиклеточных фигурок можно вырезать из клетчатой фигуры, представленной на рисунке? 
Примечания. Если фигурка получена из другой фигурки с помощью поворота и/или переворота, то эти фигурки считаются одинаковыми.

[01.10.2023] Школьный этап по Математике 11 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

6. Спрятана сумма

В качестве ответа введите целое число. Если число отрицательное, введите минус (-) перед ним. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: -3

Известно, что 8x2+y2+2z2-4xy+4xz-12z+36=0. Чему равно значение x+y+z? 

Укажите ТОЛЬКО число.

7.Площади

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

На стороне AD трапеции ABCD(BC||AD) взята точка K такая, что , AK:KD=1:2, а площадь треугольника ABK равна площади треугольника BCD. Пусть  O– точка пересечения отрезков KC и BD. Найдите значение площади треугольника , если значение площади треугольника ACD равно 18.

8. Цитрусовая вечеринка

В качестве ответа введите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов) быть не должно. Пример: 3,14

На цитрусовой вечеринке бармен должен был смешивать только один коктейль, состоящий из мандаринового, грейпфрутового и апельсинового соков в соотношении 2:1:3, причём соки были заготовлены именно в этой пропорции. Но в самом начале вечеринки бармен забыл рецепт коктейля, из-за чего случайно увеличил объёмную долю грейпфрутового сока в нём на 20%, а соотношение мандаринового и апельсинового соков осталось прежним. Апельсинового сока изначально было 50 литров, а коктейль делали только стандартными порциями до тех пор, пока это было возможно. Объём одной стандартной порции коктейля –  0,2 литра.

Примечание. Объёмная доля сока в коктейле – это отношение объёма этого сока в коктейле к объёму всего коктейля.

а) Сколько было использовано литров мандаринового сока, если апельсинового сока изначально было 50 литров, а коктейль делали только стандартными порциями до тех пор, пока это было возможно? Укажите ТОЛЬКО число.

б) На сколько меньше было сделано стандартных порций коктейлей? Укажите ТОЛЬКО число.

9. Рассечённое ребро

В данной задаче может быть несколько ответов. В качестве каждого из ответов введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Правильную пирамиду разрезали параллельно основанию так, что каждое боковое ребро оказалось разделено в отношении 1:(√26-1), считая от вершины к основанию. Известно, что площадь боковой поверхности неусечённой пирамиды, образовавшейся после разрезания, равна 1, а площадь боковой грани образовавшейся усечённой пирамиды выражается целым числом. Сколько может быть всего боковых граней у исходной пирамиды?

10. Рыцарь? Лжец!

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Все жители острова рыцари или лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы всегда говорят только ложь. Однажды  100 жителей этого острова выстроились в ряд друг за другом так, что первый не видел никого перед собой, второй видел первого, третий видел первого и второго, и так далее. Никаких других посторонних рядом не было. Первым стоял лжец и он всё время молчал. Второй и все остальные, стоящие на чётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше трёх лжецов». Третий и все остальные, стоящие на нечётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше двух рыцарей». Сколько человек в этом ряду смогли повторить свои сказанные вслух фразы, после того, как все развернулись в противоположном направлении?