[01.10.2023] Школьный этап по Математике 9 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

[01.10.2023] Школьный этап по Математике 2023-2024 г. Московская область 50 регион
Приобрести ответы ко всем заданиям

1. Выберите верные утверждения.

Если ab делится нацело на c , то либо a делится нацело на c , либо b делится нацело на c , где a,b,c – целые числа.
Если корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 одного знака и не равны нулю, то коэффициенты a и c тоже одного знака.
Прямые, содержащие высоты треугольника всегда пересекаются внутри треугольника.
Произведение двух различных иррациональных чисел может быть числом рациональным.
Если диагонали четырёхугольника равны, то это трапеция или прямоугольник.

2. У Сережи было трехзначное число abc  рублей. Он захотел порадовать свою подругу Таню и сводить ее в кино. Купив билеты, он обнаружил, что денег у него осталось bc , причем это в 15 раз меньше, чем было. Сколько рублей потратил Сережа? Укажите все возможные варианты.
Укажите ТОЛЬКО число.

3. Известно, что 6x+2y+9=0. Чему равна разность чисел (в указанном порядке) 2x+6y-5,5  и 44x+20y-1,5? 

Укажите ТОЛЬКО число.

4. В треугольнике ABC <B=30 Вне треугольника ABC  отмечены точки A1 и C1  так, что треугольники ABC1 и BCA1 равносторонние, и точки A  и A1  лежат по разные стороны от прямой BC, а точки C и  C1 — по разные стороны от прямой AB. Оказалось, A1 A что  — биссектриса угла BA1C и CC1 =10 . Найти AB .

5. На доске написали в ряд 40 единиц. Расставьте между ними 7 знаков «+» так, чтобы все слагаемые были различны, а сумма – наибольшей. Чему равна эта сумма?

6. Коэффициенты a,b  и c квадратного трёхчлена ax2+bx+c принимают значения только из множества 2.5.7. Чему равна наибольшая возможная сумма корней уравнения ax2+bx+c=0 ?

7. На первом острове 15 городов, а на втором острове 18 городов. Кроме того, рядом с этими островами есть материк, на котором также есть города. Между некоторыми городами есть дороги, при этом любые два города соединены не более чем одной дорогой. Каждая дорога соединяет ровно два различных города. Жители этих двух островов решили построить 540 дорог.

а) Какое наибольшее количество дорог можно построить между городами первого острова? Укажите ТОЛЬКО число.

б) Какое наименьшее количество дорог должно соединять город на любом из этих двух островов с городом на материке? Укажите ТОЛЬКО число.

8. Все жители острова рыцари или лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы всегда говорят только ложь. Однажды 100 жителей этого острова выстроились в ряд друг за другом так, что первый не видел никого перед собой, второй видел первого, третий видел первого и второго, и так далее. Никаких других посторонних рядом не было. Первый всё время молчал. Второй и все остальные, стоящие на чётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше одного рыцаря». Третий и все остальные, стоящие на нечётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше двух лжецов».

а) Какое наименьшее число рыцарей могло стоять в этом ряду? Укажите ТОЛЬКО число.

б) Какое наибольшее число рыцарей могло стоять в этом ряду? Укажите ТОЛЬКО число.а) Какое наименьшее число рыцарей могло стоять в этом ряду? Укажите ТОЛЬКО число.