Школьный этап ВСОШ по математике для 11 класса Московской области проходит 26–28 сентября 2026 года на площадке «Взлёт». Ниже — задания пяти вариантов.
Ответы к школьному этапу ВСОШ по математике — 11 класс
Задания по математике — 11 класс
Вариант 1.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆ .
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′ , B′ и C′ так, что отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в точке M . Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5 , а площадь треугольника BMC′ равна 10 .
Найдите площадь треугольника MCB′ .
Найдите площадь треугольника ABC .
Задание 3. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4) .
Найдите наибольшее значение функции f(x) .
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y) .
Задание 4. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Задание 5. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N , что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4 . Найдите периметр исходного шестиугольника.
Задание 6. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4 , aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) , где n = 1, 2, 3, … . Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N , где N – некоторое натуральное число.
Чему равно N ?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000 ? Укажите наименьшее такое n .
Задание 7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99 , а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99 , а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B . В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 8. Рожки
Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Вариант 2.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − 2x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆ .
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′ , B′ и C′ так, что отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в точке M . Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 1 , а площадь треугольника BMC′ равна 2 .
Найдите площадь треугольника MCB′ .
Найдите площадь треугольника ABC .
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 28 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N , что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 5 . Найдите периметр исходного шестиугольника.
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1 , aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) , где n = 1, 2, 3, … . Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N , где N – некоторое натуральное число.
Чему равно N ?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000 ? Укажите наименьшее такое n .
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99 , а его десятичная запись состоит только из семёрок. Натуральное число B кратно 99 , а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не семёрка, а все остальные – семёрки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B . В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 7. Рожки
Семеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) .
Найдите наибольшее значение функции f(x) .
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y) .
Вариант 3.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 2x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆ .
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′ , B′ и C′ так, что отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в точке M . Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 2 , а площадь треугольника BMC′ равна 4 .
Найдите площадь треугольника MCB′ .
Найдите площадь треугольника ABC .
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 23 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N , что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 3 . Найдите периметр исходного шестиугольника.
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/7 , aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) , где n = 1, 2, 3, … . Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N , где N – некоторое натуральное число.
Чему равно N ?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000 ? Укажите наименьшее такое n .
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99 , а его десятичная запись состоит только из четвёрок. Натуральное число B кратно 99 , а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не четвёрка, а все остальные – четвёрки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B . В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 7. Рожки
Восемь ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4) · sin(x − 7π/4) .
Найдите наибольшее значение функции f(x) .
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y) .
Вариант 4.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 3)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆ .
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′ , B′ и C′ так, что отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в точке M . Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 3 , а площадь треугольника BMC′ равна 6 .
Найдите площадь треугольника MCB′ .
Найдите площадь треугольника ABC .
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 22 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N , что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 2 . Найдите периметр исходного шестиугольника.
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/10 , aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) , где n = 1, 2, 3, … . Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N , где N – некоторое натуральное число.
Чему равно N ?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000 ? Укажите наименьшее такое n .
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99 , а его десятичная запись состоит только из двоек. Натуральное число B кратно 99 , а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не двойка, а все остальные – двойки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B . В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 7. Рожки
Шестеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4) .
Найдите наибольшее значение функции f(x) .
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y) .
Вариант 5.
Задание 1. Коэффициенты многочлена
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (2x² − x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + ⋯ + a₁₆ .
Задание 2. Разбиение треугольника
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′ , B′ и C′ так, что отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в точке M . Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 4 , а площадь треугольника BMC′ равна 8 .
Найдите площадь треугольника MCB′ .
Найдите площадь треугольника ABC .
Задание 3. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 30 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Задание 4. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N , что углы ∠AMB и ∠DNC – прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 1 . Найдите периметр исходного шестиугольника.
Задание 5. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/13 , aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) , где n = 1, 2, 3, … . Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N , где N – некоторое натуральное число.
Чему равно N ?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000 ? Укажите наименьшее такое n .
Задание 6. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99 , а его десятичная запись состоит только из единиц. Натуральное число B кратно 99 , а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не единица, а все остальные – единицы.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B ? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B . В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Задание 7. Рожки
Девять ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Задание 8. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) .
Найдите наибольшее значение функции f(x) .
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y) .