Школьный этап ВСОШ по математике для 8 класса Московской области проходит 26–28 сентября 2026 года на площадке «Взлёт». Ниже — задания пяти вариантов.
Ответы к школьному этапу ВСОШ по математике — 8 класс
Задания по математике — 8 класс
Вариант 1.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Задание 2. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1 . Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Задание 4. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH . Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78° . Найдите остальные углы треугольника ABC .
Сколько градусов составляет угол BAC ?
Сколько градусов составляет угол BCA ?
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982 . А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12 .
Чему могло быть равно n ? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11 .
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11
Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n ). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Вариант 2.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH . Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75° . Найдите остальные углы треугольника ABC .
Сколько градусов составляет угол BAC ?
Сколько градусов составляет угол BCA ?
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1 . Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, – за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963 . А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10 .
Чему могло быть равно n ? Выберите все возможные верные варианты для n от 2 до 9 .
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
2
3
4
5
6
7
8
9
Найдите вс возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n ). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Вариант 3.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH . Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 72° . Найдите остальные углы треугольника ABC .
Сколько градусов составляет угол BAC ?
Сколько градусов составляет угол BCA ?
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1 . Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, – за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955 . А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12 .
Чему могло быть равно n ? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11 .
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11
Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n ). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Вариант 4.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH . Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81° . Найдите остальные углы треугольника ABC .
Сколько градусов составляет угол BAC ?
Сколько градусов составляет угол BCA ?
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1 . Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, – за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947 . А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12 .
Чему могло быть равно n ? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11 .
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
4
5
6
7
8
9
10
11
Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n ). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Вариант 5.
Задание 1. Рыцари и лжецы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, – лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Задание 2. Сумма отрезков
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH . Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 84° . Найдите остальные углы треугольника ABC .
Сколько градусов составляет угол BAC ?
Сколько градусов составляет угол BCA ?
Задание 3. Три косаря
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Задание 4. Одно число
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1 . Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Задание 5. Речная прогулка
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Задание 6. Загадочное число
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917 . А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Задание 7. Фестиваль
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
На фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Задание 8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19 .
Чему могло быть равно n ? Выберите все возможные верные варианты для n от 12 до 18 .
В данном задании несколько верных утверждений. Выберите все, которые Вы считаете верными.
12
13
14
15
16
17
18
Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значениях
n
). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3