Олимпиада «Курчатов» по математике, отборочный этап, 2023-2024 учебный год

Олимпиада Курчатов по Математике пройдет с 31 января по 15 февраля 2024 г. для учеников 6-7, 8-9 и 10-11 классов. Призеры олимпиады могут претендовать на 100 баллов ЕГЭ по Математике. На нашей образовательной платформе Вы найдете Официальные Задания и Ответы на 1 из 2 вариантов.

6-7 класс

№ 1 У Пети есть 27 белых деревянных кубиков. Он сложил из них куб 3×3×3 и покрасил жёлтой краской все его грани. После высыхания краски он снова разобрал куб и заметил, что краска затекала в стыки между кубиками, в результате чего были испачканы ещё некоторые грани маленьких кубиков. А именно, если Петя окрашивал грани двух соседних кубиков, то оказывались в краске ещё и грани этих кубиков, которыми они соприкасались, и только они. На рисунке показан пример того, как если бы Петя взял только два кубика, сложил бы их в брусочек 1×1×1 и окрасил только одну его грань, в результате чего у этих двух кубиков суммарно оказалось бы 4 грани в краске, а 8 их граней остались бы белыми. Сколько всего граней у 27 кубиков оказались в краске?

Ответ

№ 2 Учительница дала Диме задание найти простые делители четырёхзначного числа abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯В какой-то момент у Димы в тетради была сделана запись как на картинке (разными буквами обозначены разные цифры, а делители за чертой справа написаны необязательно в порядке убывания). По этой записи восстановите число abcd¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯.

Ответ

№ 3 Машины А и Б одновременно выехали из одного города в одну сторону по дороге, а машина В выехала из того же города, но позже на полчаса. Машина В догнала машину А через 3 часа после своего выезда. При этом через 9 часов после выезда машины В расстояние между В и Б только увеличилось в 9 раз по сравнению с моментом выезда В. Во сколько раз скорость машины Б больше скорости машины А (все машины ехали с фиксированными скоростями)?
Ответ

№ 4 Сколько существует различных несамопересекающихся путей из точки A в точку B?

Ответ

№ 5 На рисунке показаны примеры того, как можно расставить числа от 1 до 6 в треугольник так, что каждое из чисел написано ровно один раз, а разность любых двух чисел по горизонтали находится точно под ними. Вася аналогичным образом решил расставлять числа от 1 до 10. Какое наибольшее число у него могло получиться в нижнем кружочке?

Ответ

№ 6 Гриша и Паша играют в игру. Гриша загадывает натуральное число от 1 до 17. Своим ходом Паша называет любое число. Если оно совпадает с числом Гриши, то Паша победил. Если же нет, то Гриша прибавляет к своему числу 176. За какое наименьшее число вопросов Паша может гарантированно победить?


8-9 класс


№ 1 Точки А и Б являются противоположными вершинами прямоугольника 4×5 на бесконечной клетчатой плоскости, где длина стороны клеток равна 1. Улитка ползёт по линиям сетки из точки А в точку Б, при этом поворачивать она может только в узлах сетки. Сколько существует способов построить маршрут улитки длины 11?
Ответ

№ 2 Учительница написала на доске число. Вася разделил его на 15, а Петя – на 21. Аня заметила, что у Васи получился куб некоторого натурального числа, а у Пети – пятая степень некоторого натурального числа. Напишите наименьшее такое число, куб которого мог получиться у Васи.
Ответ

№ 3 В треугольнике ABC с целочисленными сторонами AC=2584. Биссектриса ∠BAC пересекает сторону BC в точке D. Оказалось, что AB=CD. Найдите длину стороны BC.
Ответ

№ 4 Заяц поставил фишку на какую-то клетку доски 13×13. За один ход Заяц передвигает фишку на соседнюю по стороне клетку, но при этом нельзя делать два одинаковых хода подряд (например, нельзя двигать вправо 2 раза подряд). Какое наибольшее количество клеток Заяц может посетить такими ходами, если нельзя наступать на одну клетку дважды?
Ответ

№ 5 В треугольнике ABC: AB=9, BC=10, AC=17. Пусть точки D, E и F — середины сторон AB, BC и CA соответственно. Точка X≠E — пересечение окружностей, описанных вокруг △BDE и △CEF. Чему равна сумма XA+XB+XC?
Ответ

№ 6 200 учеников писали тест из 11 задач. Каждая задача была верно решена хотя бы 91 участником. При каком наибольшем k можно гарантировать, что найдётся ученик, который верно решил хотя бы k задач?


10-11 класс


№ 1 Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение xy=22222?

Ответ

№ 2 По шоссе едет легковой автомобиль со скоростью x км/ч. На расстоянии 100 метров перед ним едет грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч. Легковой автомобиль собирается совершить обгон в момент, когда по встречной полосе на расстоянии 1 км от него едет мотоциклист со скоростью 120 км/ч. С какой скоростью x, где x – целое число, нужно ехать легковому автомобилю, чтобы безопасно совершить обгон грузового автомобиля, если для этого необходимо на момент завершения манёвра находиться не менее чем в 60 метрах от грузового автомобиля и не менее чем в 120 метрах от мотоциклиста?
Ответ

№ 3 Сколько существует способов выбрать два различных натуральных делителя числа 1600000 так, чтобы их сумма была кратна трём?+
Ответ

№ 4 На параболе y=x2 отмечены точки O(1,1) и B(11,121).. Найдите абсциссу такой точки A на этой параболе, что сумма обозначенных на рисунке площадей наименьшая.

Ответ

№ 5 Пусть ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором AB=AC, точка M – середина стороны BC. Построим прямоугольник AXBY такой, что X лежит внутри △ABC и YM=162. Найдите площадь четырехугольника AXBC, если известно, что AY3+BY3=283.
Ответ

№ 6 Фигура «крот» бьёт все клетки ровно через одну по горизонтали или вертикали (см. рисунок). Какое наибольшее число кротов можно расставить на доске 16×16 так, чтобы они не били друг друга?