Школьный этап ВСОШ по математике для 10 класса Московской области проходит 26–28 сентября 2026 года на площадке «Взлёт». Ниже — задания пяти вариантов.
Ответы к школьному этапу ВСОШ по математике — 10 класс
Задания по математике — 10 класс
Вариант 1.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT . Диагональ MP равна 11 , а боковая сторона PT равна 7 . Найдите площадь трапеции.
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈ .
Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Задание 3. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Задание 4. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Задание 5. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Задание 6. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 8×8 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Задание 7. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 8. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Вариант 2.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT . Диагональ MP равна 7 , а боковая сторона PT равна 5 . Найдите площадь трапеции.
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 16 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2350 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 8 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Вариант 3.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT . Диагональ MP равна 13 , а боковая сторона PT равна 11 . Найдите площадь трапеции.
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 4x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂ .
Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,3 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 24 города, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 5×5 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 1950 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 9 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 14 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Вариант 4.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT . Диагональ MP равна 11 , а боковая сторона PT равна 9 . Найдите площадь трапеции.
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂ .
Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно три»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно три? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до четырёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,1415
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 14 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 4 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 6×6 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2270 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 11 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 16 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Вариант 5.
Задание 1. Площадь трапеции
В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT . Диагональ MP равна 13 , а боковая сторона PT равна 11 . Найдите площадь трапеции.
Задание 2. Многочлен
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Многочлен P(x) = (x² − 2x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆ .
Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Задание 3. Пенальти
Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Задание 4. Трафик
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В стране 12 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 5 дорог. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Задание 5. Раскраска прямоугольника
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 7×7 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
Задание 6. Фонари на шоссе
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2110 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Задание 7. Лестница
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Лестница на чердак состоит из 12 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Задание 8. Натуральные делители
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно
10
различных натуральных делителей. Чему равно это число?