Школьный этап ВСОШ по математике для 9 класса Московской области проходит 26–28 сентября 2026 года на площадке «Взлёт». Ниже — задания пяти вариантов.
Ответы к школьному этапу ВСОШ по математике — 9 класс
Задания по математике — 9 класс
Вариант 1.
Задание 1. Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 20% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 20% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Задание 2. Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O , причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 108° , угол BOC равен 90° .
Найдите градусную меру угла OCD .
Задание 3. Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×8 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Задание 4. Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Задание 5. Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y :
21609 = x² − y² .
Сколькими способами это можно сделать?
Чему равно наибольшее возможное значение x ?
Чему равно наименьшее возможное значение y ?
Задание 6. Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 16 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Задание 7. Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000 ;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
2 9 7
4 1 6
3 8 5
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
Задание 8. Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 12 учеников, а физику – только 10 . Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Вариант 2.
Задание 1. Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Задание 2. Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O , причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 100° , угол BOC равен 70° .
Найдите градусную меру угла OCD .
Задание 3. Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×11 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Задание 4. Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 12 см², 24 см² и 36 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Задание 5. Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 25 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Задание 6. Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000 ;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
2 9 4
7 1 8
6 3 5
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
Задание 8. Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число 3969 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y :
3969 = x² − y² .
Сколькими способами это можно сделать?
Чему равно наибольшее возможное значение x ?
Чему равно наименьшее возможное значение y ?
Вариант 3.
Задание 1. Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 10% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Задание 2. Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O , причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 120° , угол BOC равен 90° .
Найдите градусную меру угла OCD .
Задание 3. Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×10 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Задание 4. Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 10 см² и 15 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Задание 5. Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 36 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Задание 6. Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000 ;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
1 7 2
9 3 8
4 6 5
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
Задание 8. Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число 5625 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y :
5625 = x² − y² .
Сколькими способами это можно сделать?
Чему равно наибольшее возможное значение x ?
Чему равно наименьшее возможное значение y ?
Вариант 4.
Задание 1. Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Задание 2. Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O , причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 110° , угол BOC равен 80° .
Найдите градусную меру угла OCD .
Задание 3. Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×9 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Задание 4. Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 4 см², 6 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Задание 5. Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 49 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Задание 6. Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000 ;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
1 8 3
6 4 9
5 2 7
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
Задание 8. Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число 9801 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y :
9801 = x² − y² .
Сколькими способами это можно сделать?
Чему равно наибольшее возможное значение x ?
Чему равно наименьшее возможное значение y ?
Вариант 5.
Задание 1. Купля-продажа
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 40% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Задание 2. Вписанный четырёхугольник
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O , причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 115° , угол BOC равен 80° .
Найдите градусную меру угла OCD .
Задание 3. Раскраска полосы
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×7 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Задание 4. Разбиение четырёхугольника
В качестве ответа вводите число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 8 см², 10 см² и 20 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Задание 5. Дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 64 ученика дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Задание 6. Число в квадрате
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
все цифры этого числа различны;
оно больше 1000000 ;
любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
7 9 2
4 1 6
3 8 5
Какое наименьшее число может получить Сергей?
Какое число наибольшее может получить Сергей?
Задание 8. Разность квадратов
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3.
Число 2025 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y :
2025 = x² − y² .
Сколькими способами это можно сделать?
Чему равно наибольшее возможное значение x ?
Чему равно наименьшее возможное значение y ?
Задание 7. Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Алексей Викторович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 10 учеников, а физику – 12 . Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Задание 7. Физики и математики
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 25 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 15 учеников, а физику – только 12 . Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?