Задания олимпиады «Бельчонок» по математике для 10 класса. В работе — задачи по геометрии, комбинаторике, вероятности, теории чисел и алгебре.
Задания по математике — 10 класс
Задание 1.
За круглым столом 14 мест. Сколькими способами могут сесть четыре пары детей, в каждой паре брат и сестра, если каждый брат должен сидеть рядом со своей сестрой? Варианты, получающиеся друг из друга вращением круга, считать за один вариант.
Задание 2.
В треугольнике ABC сторона AB = 6, точка P — середина стороны AC, точка Q — середина стороны BC, AQ перпендикулярно BP. Какую наибольшую площадь может иметь треугольник ABC?
Задание 3.
Найдите наименьшую возможную сумму 8 различных натуральных чисел, таких, что сумма любых двух из них больше 21.
Задание 4.
Найдите произведение 33 − 133 + 1 · 43 − 143 + 1 · … · 503 − 1503 + 1. Ответ представьте в виде десятичной дроби, округленной до сотых.
Задание 5.
В окружность ω вписан треугольник ABC. Через точку C проведена прямая, вторично пересекающая окружность ω в точке D и пересекающая продолжение стороны AB за точку B в точке E. Угол ECB равен углу BCA. AE = 5, EC = 4, AC = 6. Какую часть составляет площадь треугольника ABD от площади треугольника AEC? Ответ дайте в виде десятичной дроби.
Задание 6.
Вычислите куб значения выражения (продолжающегося бесконечно).
Задание 7.
Между кедром и сосной проложена дорожка. Два бельчонка ровно в 9 утра побежали навстречу друг другу, один от сосны к кедру, другой от кедра к сосне. Через несколько минут они встретились и 2 минуты поговорили. Потом каждый побежал дальше, и первый бельчонок добежал до кедра через 8 минут, а второй добежал до сосны через 18 минут, считая от окончания разговора. Скорость каждого бельчонка постоянна. Сколько минут прошло после 9 утра, когда первый бельчонок прибежал к кедру?
Задание 8.
Для проверочной работы учитель приготовил 12 разных задач одной сложности. Каждый ученик выбирал 4 номера задач, которые он будет решать, не видя самих задач, и независимо от других. Известно, что у Игоря и Лизы совпало не меньше двух задач. Какова вероятность, что у них совпали все 4 задачи? В ответ запишите сумму числителя и знаменателя получившейся несократимой дроби.
Задание 9.
К натуральному числу n Коля прибавил 873 и получил точный квадрат. А Миша к этому же числу n прибавил 5217 и тоже получил точный квадрат. Найдите наибольшее возможное значение n.
Задание 10.
Пусть множество . N — количество подмножеств этого множества, состоящих не менее чем из 4 элементов и содержащих элемент 1, M — количество подмножеств этого множества, состоящих не менее чем из 4 элементов и не содержащих элемент 1. Найдите M − N.