Задания олимпиады «Бельчонок» по математике для 11 класса. В работе 10 заданий по геометрии, теории чисел, комбинаторике и алгебре.
Задания по математике — 11 класс
Задание 1.
На рисунке изображён треугольник ABC и его вписанная окружность. Точка M — середина AB, точка T — точка касания вписанной окружности и стороны AB. Найдите разность периметров треугольников ACT и BCT.
Задание 2.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что 22005 делит 17n − 1.
Задание 3.
Натуральное число N назовём хорошим, если для него найдутся хотя бы четыре различных пары натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих равенству 15x + 200y = N. Найдите наименьшее хорошее число.
Задание 4.
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Известно, что вписанные окружности треугольников ABN и CBN касаются друг друга. Кроме того, вписанные окружности треугольников ADN и CDN также касаются друг друга. Найдите все возможные значения отношения AN : NC. Если ответов несколько, то в ответ запишите сумму получившихся чисел.
Задание 5.
Дано множество S из n элементов. Известно, в S нашлись такие попарно различные непустые подмножества X1, X2, …, X100, что любые два соседних Xi и Xi+1 в этом ряду, во-первых, не пересекаются, а во-вторых, в объединении не дают всё множество S. Найдите минимальное возможное значение n.
Задание 6.
Найдите все тройки (x; n; p) натуральных x и n и простых p, для которых
x3 + 3x2 + 7 = 2 · pn.
Если ответов несколько, то в ответе запишите наибольшую возможную сумму x + n + p среди всех таких троек.
Задание 7.
Три приведённых квадратных трёхчлена касаются одной и той же красной прямой. В совокупности они имеют 6 корней, которые отмечены на рисунке. Первый, второй, третий и шестой по величине из этих корней известны. Найдите четвёртый и пятый. В ответ запишите произведение полученных чисел.
Задание 8.
Числа −1013, −1012, …, −1, 1, 2, …, 1012, 1013 образуют в некотором порядке последовательность a1, a2, …, a2022. Найдите наибольшее возможное значение суммы
|a1| + |a1 + a2| + |a1 + a2 + a3| + … + |a1 + a2 + … + a2026|.
Задание 9.
По кругу есть 5 мест, пронумерованные по часовой стрелке 1, 2, 3, 4, 5. На каждом месте есть стрелка, указывающая по часовой или против. Изначально на каком-то месте стоит фишка. За один ход фишка проходит на соседнее место в направлении стрелки, после чего стрелка на том месте, где только что была фишка, меняет своё направление на противоположное. На рисунке показано начальное расположение и ситуация через один ход после исходного положения. На каком месте окажется фишка через 416 ходов после исходного положения и через 539 ходов после начального положения?
416-й ход
539-й ход
Задание 10.
Заяц и черепаха устроили забег по круговой тропинке. Они стартуют одновременно из одной точки в одном направлении, каждый — со своей постоянной скоростью. Заяц быстрее черепахи. Каждый раз, когда заяц и черепаха встречались в одной точке, черепаха мгновенно разворачивалась и с той же постоянной скоростью двигалась в противоположном направлении. Когда черепаха впервые вернулась на точку старта, заяц встретил её в 209-й раз. Во сколько раз скорость зайца больше скорости черепахи?