Задания олимпиады «Бельчонок» по математике для 7 класса. В работе 10 задач на проценты, свойства чисел, геометрию и комбинаторику.
Задания по математике — 7 класс
Задание 1.
У блогера Пети число подписчиков за август выросло на 25% (относительно числа в конце июля), а за сентябрь — ещё на 28% (относительно числа в конце августа). Сколько подписчиков было у Пети в конце сентября, если известно, что их число больше 260, но меньше 310?
Задание 2.
Натуральные числа от 1 до 155 выписаны на 155 карточках (на каждой карточке выписано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Вася составляет наборы из трёх карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких наборов могло получиться у Васи? (Одна и та же карточка не может входить в два набора.)
Задание 3.
Миша распродаёт свою коллекцию игрушек из киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 30 игрушек, и каждая игрушка стоит натуральное число рублей. Суммарная стоимость игрушек — 110 рублей. У Лёши есть только 65 рублей. Какое наибольшее число игрушек сможет выкупить Лёша вне зависимости от цен игрушек?
Задание 4.
На плоскости проведены 14 лучей. На какое наибольшее число частей плоскость может быть разбита этими лучами?
Задание 5.
В начале урока алгебры на доске были выписаны числа 1, 2, …, 20. Дети поочерёдно подходили к доске, стирали два числа a и b с доски и вместо них писали значение выражения ab + 49a + b. Какое наибольшее число могло остаться после 19 таких подходов?
Задание 6.
Нижняя строка прямоугольника 2 × 16 заполнена 16 фишками, занумерованными числами 1, 2, …, 16 слева направо. За одну операцию разрешается передвинуть любую фишку в соседнюю по стороне пустую клетку прямоугольника. Какое наименьшее количество операций требуется для того, чтобы разместить фишки в нижней строке в обратном порядке?
Задание 7.
Имеется 80 прозрачных мешочков с золотыми монетами. В первом мешочке лежит 1 монета, во втором — 2 монеты, …, в 80-ом — 80 монет. Аладдин за один ход может выбрать пару мешочков и вытащить по одной монете из выбранной пары мешочков. Однако есть ограничение: нельзя выбирать пару мешочков, уже выбранную на одном из предыдущих ходов. Какое наименьшее число монет Аладдин может такими ходами оставить в мешочках?
Задание 8.
Внутри квадрата ABCD отмечена точка K так, что ∠KAD = 68° и ∠KBC = 11°. Выразите в градусах ∠KDC.
Задание 9.
Натуральные числа 1, 2, 3, …, n выписаны на доске. Для каждой цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Борис посчитал, сколько раз эта цифра записана на доске. Оказалось, что каждая из десяти цифр выписана на доску нечётное число раз. При каком наименьшем натуральном такое возможно?
Задание 10.
Натуральное число назовём скучным, если в нём ровно шесть цифр и каждая цифра — это 4 или 8. Натуральное число назовём интересным, если оно — сумма двух скучных чисел (возможно, одинаковых). Сколько всего интересных чисел?