Задания олимпиады «Бельчонок» по математике для 8 класса. В работе 10 задач на уравнения, свойства чисел, движение, проценты, геометрию и раскраски.
Задания по математике — 8 класс
Задание 1.
Число 2027 представлено как сумма двузначных чисел. Пусть A — наибольшее, а B — наименьшее возможное число слагаемых в этой сумме. Найдите A − B.
Задание 2.
Найдите все решения уравнения |x + 18| + |x| + |x − 18| = 36 − x2. В ответ запишите сумму решений.
Задание 3.
Пока белка делает 5 прыжков, бельчонок делает 6 прыжков. Но одно и то же расстояние белка преодолевает за 4 прыжка, а бельчонок за 7 прыжков. Белка и бельчонок были в начале дорожки, бельчонок начал прыгать первым и сделал уже 33 прыжка, когда белка тоже начала прыгать. Через сколько своих прыжков белка догонит бельчонка?
Задание 4.
Какое наибольшее количество целых чисел больших, чем 0, но меньших, чем 2027, можно выписать так, чтобы сумма любых двух из них делилась на 6?
Задание 5.
График функции y = f(x) — прямая. Известно, что f(8) − f(2) = 10. Найдите f(24) − f(3).
Задание 6.
От прямоугольного листа бумаги отрезали 6% в ширину и 5% в длину. Первоначальная ширина листа была 50 см. Какова была его первоначальная длина в сантиметрах, если после обрезки площадь полученного прямоугольника равнялась 893 кв. см?
Задание 7.
Остап Бендер решил продавать билеты для осмотра достопримечательности. Он продавал их два дня, и всего продал 100 билетов. В первый день цена билета составляла целое число копеек, во второй день цена была удвоена. За два дня Остап получил 87 рублей 42 копейки. Сколько билетов он мог продать во второй день? Найдите все решения и запишите в ответ их сумму.
Задание 8.
Прямоугольник разделён на 4 неравные части. Каждую часть надо закрасить одним из четырёх цветов: красным, синим, жёлтым, зелёным. Смешивать цвета нельзя. В одной раскраске один и тот же цвет может быть использован несколько раз, но нельзя, чтобы все 4 части были одного цвета. Для двух частей, соседних по стороне, нельзя использовать набор цветов «красный и синий», а также «жёлтый и зелёный». Сколько разных раскрасок может быть?
Задание 9.
Сколько существует двузначных чисел a таких, что сумма цифр чисел a, 3a, 7a одинакова?
Задание 10.
В квадрате со стороной 2 + √3 выделены два равных прямоугольника (см. рисунок). Чему равна меньшая сторона прямоугольника?
