Олимпиада «Бельчонок» по математике — 9 класс: задания

Задания олимпиады «Бельчонок» по математике для 9 класса. В работе 10 заданий по алгебре, геометрии, теории чисел и логике.

Задания по математике — 9 класс

Задание 1.

На доске написано число 60. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят на 3 или на 5, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Выберите все числа, которые могут получиться на доске.

Выберите один или несколько ответов:

1. 150
2. 100
3. 720
4. 7500

Задание 2.

Квадратный трехчлен f(x) = ax² + bx + c удовлетворяет условию f(4) = 16 и f(6) = 36. Известно, что a ≠ 1. Найдите значение c − ba − 1.

Задание 3.

На каждой стороне треугольника отметили отрезок между серединой стороны и точкой касания вписанной окружности. Длина одного из этих отрезков равна 2, длина другого равна 6. Найдите все варианты чему может равняться длина третьего отрезка. В ответ запишите сумму полученных чисел.

Задание 4.

На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D, и параллельная AB, пересекает ω в точке X. Известно, что ∠XDC = 20°, ∠DXB = 4°. Найдите величину ∠ABC. Ответ выразите в градусах.

Задание 5.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A₁ и C₁ соответственно. Чему равен угол A₁BC₁, если ∠A = 76°, ∠C = 42°? Ответ запишите в градусах.

Задание 6.

У трех братьев: Андрея, Бориса и Вовы есть трехэтажная кровать. Изначально Андрей спит на верхней полке, Борис на средней, Вова на нижней. Утром каждого дня братья на верхней и средней полках меняются местами. А вечером каждого дня братья на нижней и средней полках меняются местами. Кто будет спать на второй полке после 10 дней?

Выберите один ответ:

1. Андрей
2. Вова
3. Борис

Задание 7.

На доске написано число 11. Раз в минуту можно выбрать число x, записанное на доске, и записать числа x² + 2 и x − 8. Какое максимальное количество чисел от 1 до 1000 можно получить на доске?

Задание 8.

Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно представить и в видесуммы двух последовательных натуральных чисел, и в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?

Задание 9.

Известно, что p, q — корни уравнения x² − 3x − 5 = 0. Пусть p + pq, q + pq — корни уравнения x² + mx + n = 0. Найдите m + n.

Задание 10.

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC выбрали точки X и Y соответственно так, что BY = XY и описанная окружность треугольника CXY касается прямой AB в точке X. Найдите угол ACX, если ∠ABC = 16°. Ответ выразите в градусах.