[01.10.2023] Школьный этап по Математике 10 класс 2023-2024 г. Московская область 50 регион

Официальные задания и ответы школьного этапа 2023-2024 всероссийской олимпиады школьников ВСОШ по Математике 10 класс для Московской области 50 регион.
[01.10.2023] Школьный этап по Математике 2023-2024 г. Московская область 50 регион
Приобрести ответы ко всем заданиям

1. Выберите верные утверждения.

К любым двум окружностям на плоскости можно провести общую касательную.
Отношение косинусов двух углов может быть больше 1 .
Если a>b+c, то a>b , где a,b,c  – действительные числа.
Пересечением двух числовых множеств всегда является числовой интервал.
Диагональ четырёхугольника может лежать вне этого четырёхугольника.

2. Известно, что 4x+6y+7=0 . Чему равна разность чисел (в указанном порядке) 3x+y+4.5 и 19x+25y-2.5 ?

3. Сумма 2023 целых чисел равна 135, а произведение всех этих чисел равно единице. Какое наибольшее число можно получить, складывая некоторые из этих чисел?

4. Направив красный галактический луч на алмаз один раз, инопланетянин может превратить его в четыре алмаза, а направив жёлтый галактический луч на алмаз один раз, инопланетянин может превратить его в пять алмазов. Сколько раз в сумме ему надо направить красный и жёлтый лучи на алмаз, чтобы превратить его ровно в 600 алмазов, если он направляет лучи поочерёдно?

5. Какое наибольшее число одинаковых пятиклеточных фигурок можно вырезать из клетчатой фигуры, представленной на рисунке? 
Примечания. Если фигурка получена из другой фигурки с помощью поворота и/или переворота, то эти фигурки считаются одинаковыми.

6. Коэффициенты a,b  и c  квадратного трёхчлена ax2+bx+c принимают значения только из множества 2.4.7 . Чему равна наибольшая возможная сумма корней уравнения ax2+bx+c=0?

7. На стороне AD трапеции ABCD (BC||AD) взята точка K такая, что AK:KD=1:2, а площадь треугольника ABK равна площади треугольника BCD. Пусть O – точка пересечения отрезков KC и BD . Найдите значение площади треугольника KBO, если значение площади треугольника ABC равно 18.

8. Известно, что X2+5Y2-4XY+6Y+9=0 . Чему равно значение X+Y ?

9. На цитрусовой вечеринке бармен должен был смешивать только один коктейль, состоящий из мандаринового, грейпфрутового и апельсинового соков в соотношении 2:3:4, причём соки были заготовлены именно в этой пропорции. Но в самом начале вечеринки бармен забыл рецепт коктейля, из-за чего случайно увеличил объёмную долю грейпфрутового сока в нём на 20% , а соотношение мандаринового и апельсинового соков осталось прежним. Апельсинового сока изначально было 28 литров, а коктейль делали только стандартными порциями до тех пор, пока это было возможно. Объём одной стандартной порции коктейля –  0,2 литра.

На какое количество стандартных порций было заготовлено соков изначально? Укажите ТОЛЬКО число.

На сколько меньше было сделано стандартных порций коктейлей? Укажите ТОЛЬКО число.

Сколько литров мандаринового сока было использовано? Укажите ТОЛЬКО число.

10. Все жители острова рыцари или лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, лжецы всегда говорят только ложь. Однажды 100 жителей этого острова выстроились в ряд друг за другом так, что первый не видел никого перед собой, второй видел первого, третий видел первого и второго, и так далее. Никаких других посторонних рядом не было. Первым стоял рыцарь и он всё время молчал. Второй и все остальные, стоящие на чётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше трёх рыцарей». Третий и все остальные, стоящие на нечётном месте в ряду, сказали: «В этом ряду передо мной стоят не больше трёх лжецов». Сколько человек в этом ряду смогли повторить свои сказанные вслух фразы, после того, как все развернулись в противоположном направлении?