Официальные материалы задания, ответы на Олимпиаду имени М. В. Ломоносова Отборочный этап по Математике 2025-2026г. Готовые решения на задачи по Математике для 10 класса, все материалы публикуются регулярно и доступны за символическую плату.
Задания Отборочного этапа по Математике 10 класс:
Задание 1. Число р таково, что уравнение
x3 + 5 = px
имеет три различных действительных корня. Найдите наибольшее возможное значение суммы кубов этих корней.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 2. Найдите наименьшее значение функции
f(x,y) = √7y — 5x + 4√ 2x + 3y + 8 + 6√7x — 4y — 8
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 3. Сумма слагаемых в выражении 1 + 3 + 5 + 7 +… +99 + 101 положительна. Валентина нашла такое наименьшее N, при котором замена N знаков <<плюс>> в этом выражении на знаки <<минус>> приводит к отрицательной сумме. Чему может быть равна отрицательная сумма после такой замены при этом N? Если таких значений несколько, найдите сумму возможных значений.
Показать ответ
Задание 4. Имеется куб с ребром 4, на поверхности которого отмечены все точки с целочисленными координатами. При этом оси координат параллельны ребрам куба, а координаты вершин — целочисленные. Каждую минуту на куб одновременно садятся божьи коровки, причем каждая из них садится на одну из отмеченных точек. В первую минуту садится одна божья коровка, а в последующие минуты — в 2 раз больше, чем село в предыдущую минуту. А когда места на всех новоприбывших уже не хватает, то они больше не садятся. Сколько божьих коровок сядет на куб?
Показать ответ
Задание 5. Есть правильный шестиугольник. Берём его сторону, умножаем на 2, на каждой его стороне отступаем от вершины на полученное расстояние и отмечаем там точку. Полученные точки соединяются в новый правильный шестиугольник. С новым шестиугольником проделываем то же самое, а потом повторяем ещё и ещё, пока операция не будет проведена 6 раз (смотри рисунок).
Какая пропорция между площадью внутреннего шестиугольника и площадью синей области?
Задание 6. Мы протираем лежащий на паркете прямоугольный ковёр размерами 250 на 170 прямоугольной шваброй размерами 30 на 16. Первоначально швабра помещается на паркет, полностью за пределами ковра. После этого швабру нельзя поворачивать, и нельзя отрывать от пола — ковёр нужно протереть одним движением, причём швабра должна закончить своё движение на паркете. Паркет гладкий, поэтому по нему швабра скользит мгновенно, с <<бесконечно большой>> скоростью, но как только прямоугольник швабры хотя бы одной своей точкой задевает ковёр — скорость движения становится равна 50. Найдите наименьшее время, за которое можно протереть ковёр целиком.
Показать ответ
Задание 7. Дано: x5y4 — x4y5 = 64, x3y3(x3 — y3) = 200. Запишем наибольшее возможное рациональное значение выражения х3у3 -x3 + y3 в виде дроби n\m , где п, m — натуральные числа, НОД (n, m) = 1. Найдите 2n + m
Показать ответ
Задание 8. На полу в центре большой комнаты осталось прямоугольное пятно размерами 78 на 100. Его накрывают тремя (или менее) квадратными ковриками произвольных размеров. Можно накладывать ковры друг на друга и вылезать за пределы пятна, но стороны квадратов должны быть параллельны или перпендикулярны сторонам пятна. Какие длины сторон ковриков нужно взять, чтобы получилось накрыть пятно полностью, но при этом суммарная площадь квадратов была наименьшей? В ответе укажите суммарную площадь квадратов.
Показать ответ