Официальные материалы задания, ответы на Олимпиаду имени М. В. Ломоносова Отборочный этап по Математике 2025-2026г. Готовые решения на задачи по Математике для 11 класса, все материалы публикуются регулярно и доступны за символическую плату.
Задания Отборочного этапа по Математике 11 класс:
Задание 1. Сколько раз входит двойка в разложение на простые сомножители произведения
2027 * 2028 * … * 4051 * 4052?
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 2. Число р таково, что уравнение
x3— 7 = px
имеет три различных действительных корня. Найдите наименьшее возможное значение суммы кубов этих корней.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 3. При каких значениях параметра а уравнение
sin x + a cos x = 1/2
имеет не менее двух корней на отрезке [n/3, 4n/3] В ответе укажите среднее арифметическое самого большого и самого малого значения а, при необходимости округлённое до сотых.
Показать ответ
Задание 4. Звезда покрасила себе ногти (см. рисунок). Какую долю своей площади она покрасила? Полученное отношение умножьте в 20 раз, прибавьте к нему 3√5 и укажите в ответе результат этих операций.
Звезда правильная, то есть она строится из пяти отрезков, соединяющих не соседние вершины правильного пятиугольника.
Для справки: cos n/5 = 1/4 (1 + √5).
Задание 5. На клетчатой доске размера 10 × 10 отмечена клетка в пятой строке в пятом столбце. Найдите среднее арифметическое площадей прямоугольников, состоящих из целых клеток доски и содержащих отмеченную клетку.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 6. Дано: x5 y4 = 64, x3 y3(x3 — y3) = 200. Запишем наибольшее возможное рациональное значение выражения х3у3 -x3+у3 в виде дроби , где n, m — натуральные числа, НОД (n,m) = 1. Найдите 2n — 3m
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 7. Конструкцию центральных опор речных мостов часто снабжают ледорезами, в результате чего опоры приобретают вид тела, ограниченного двумя параллельными плоскостями, частью боковой поверхности усечённого конуса, а также двумя касательными к этому конусу плоскостями (см. рисунок). Найдите объём такой опоры, если радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса равны 4 и 2 соответственно, его высота равна 4√2, а углы о при общей нижней вершине в четырёхугольниках, образующих <<плоские>> части боковой поверхности опоры, равны n/3. Ответ округлите до целого числа.
Задание 8. В школьном гардеробе имеется 11 пронумерованных вешалок. Два гардеробщика решили сыграть в такую игру. Первый из них вешает номерок с числом 1 на произвольную вешалку. А второй последовательно развешивает оставшиеся номерки с числами от 2 до 11 на свободные вешалки по следующему правилу: если вешалка с номером, совпадающим с числом на номерке, свободна, то номерок вешают на эту вешалку. В противном случае номерок вешают на любую свободную вешалку. Сколько существует способов развесить номерки так, чтобы номерок с числом 11 оказался на 11-й вешалке?
Показать ответ