Официальные материалы задания, ответы на Олимпиаду имени М. В. Ломоносова Отборочный этап по Математике 2025-2026г. Готовые решения на задачи по Математике для 7-8 класса, все материалы публикуются регулярно и доступны за символическую плату.
Задания Отборочного этапа по Математике 7-8 класс:
Задание 1. На стене висят в ряд трое часов с маятниками. Мышка хочет перебраться по маятникам с левого шкафа на правый. Пересесть с маятника на маятник, или с маятника на шкаф можно только тогда, когда они соприкасаются. Первоначально маятники расположены как на рисунке. Первый маятник делает 5 колебаний в минуту, второй — 6, третий — 6. Через сколько секунд мышка окажется на правом шкафу?
Задание 2. Водонос несёт воду в ведре собственного изобретения (см. чертёж, в поперечном сечении ведро прямоугольное). С таким ведром он начал подниматься в гору — долгое время ведро медленно наклонялось влево, пока не достигло наклона в 45° влево, после чего наклон уменьшался, пока ведро не вернулось в изначальное положение. Потом он долгое время спускался — ведро постепенно наклонялось вправо, пока не достигло наклона 45° вправо, после чего наклон уменьшался, пока ведро опять не вернулось в изначальное положение. Сколько воды выльется из ведра?
Задание 3. Назовём цифру в числе пиком, если до неё цифры строго возрастают, а после неё — строго убывают. Назовём цифру в числе дном, если до неё цифры строго убывают, а после неё — строго возрастают. Назовём число горой, если в нём есть пик — не первая и не последняя цифра. Назовём число ямой, если в нём есть дно — не первая и не последняя цифра. Найдите разницу между числом ям и удвоенным числом гор.
Показать ответ
Задание 4. На угловой клетке клетчатой доски 5 × 5 лежит игральный кубик, грань которого по размерам совпадает с клеткой. На верхней грани кубика б очков. Кубик перекатывается по клеткам доски. На какие клетки доски можно добраться такими перекатываниями (включая исходную клетку) — но так, чтобы в конце пути на верхней грани кубика тоже оказалось 6 очков, и ориентация рисунка из точек была такая же?
Задание 5. В большой коробке лежит 500 красных, 200 синих и 100 зелёных шариков. Сколькими способами можно разложить эти шарики по двум одинаковым коробкам так, чтобы в каждой из них красных шариков было не меньше, чем синих, а синих — не меньше, чем зелёных.
Показать ответ
Задание 6. На этаже есть четыре комнаты, три двери и шесть окон (см. рисунок, окна отмечены квадратами, двери — кругами). Каждую дверь и каждое окно можно оставить либо открытым, либо закрытым. Если ветер может войти в здание через одно окно и выйти через другое (путь не обязательно по прямой) — будет сквозняк. Закрытые окна и двери не дают пройти ветру.
Сколькими способами можно оставить двери и окна так, чтобы не было сквозняка?
Задание 7. Сумма слагаемых в выражении 1 + 3 + 5 + 7+… +103 + 105 положительна. Галина нашла такое наименьшее N , при котором замена N знаков <<плюс>> в этом выражении на знаки <<минус>> приводит к отрицательной сумме. Чему может быть равна отрицательная сумма после такой замены при этом N? Если таких значений несколько, найдите сумму возможных значений.
Показать ответ