Официальные материалы задания, ответы на Олимпиаду имени М. В. Ломоносова Отборочный этап по Математике 2025-2026г. Готовые решения на задачи по Математике для 9 класса, все материалы публикуются регулярно и доступны за символическую плату.
Задания Отборочного этапа по Математике 9 класс:
Задание 1. Сумма слагаемых в выражении 2+4+6+8+…+98+100 положительна. Борис нашёл такое наименьшее N, при котором замена N знаков <<плюс>> в этом выражении на знаки <<минус>> приводит к отрицательной сумме. Чему может быть равна отрицательная сумма после такой замены при этом N? Если таких значений несколько, найдите сумму возможных значений.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 2. Назовём цифру в числе \textit{пиком}, если до неё цифры строго возрастают, а после неё~— строго убывают. Назовём цифру в числе \textit{дном}, если до неё цифры строго убывают, а после неё~— строго возрастают. Назовём число \textit{горой}, если в нём есть пик~— не первая и не последняя цифра. Назовём число \textit{ямой}, если в нём есть дно~— не первая и не последняя цифра. Найдите разницу между числом ям и удвоенным числом гор.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой
Показать ответ
Задание 3. Подъезд Павла охраняется домофоном с такой клавиатурой:
Код состоит из трёх цифр без повторов. Павел не помнит комбинации, единственное, что он помнит точно — что если соединить первую и вторую кнопку воображаемой прямой, то прямая не будет горизонтальной, и третья кнопка окажется строго левее прямой.
За какое минимальное число попыток Павел гарантированно войдёт в подъезд?
Примечание: Кнопки квадратные и расположены вплотную, без сдвигов, прямые проводятся через середины кнопок, и кнопка считается левее прямой, если её середина левее прямой. Прямая существует и за пределами клавиатуры — например, пароль 269 подходит под условия.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 4. На полу в центре большой комнаты осталось прямоугольное пятно размерами 62 на 99. Его накрывают тремя (или менее) квадратными ковриками произвольных размеров. Можно накладывать ковры друг на друга и вылезать за пределы пятна, но стороны квадратов должны быть параллельны или перпендикулярны сторонам пятна. Какие длины сторон ковриков нужно взять, чтобы получилось накрыть пятно полностью, но при этом суммарная площадь квадратов была наименьшей? В ответе укажите суммарную площадь квадратов.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 5. В выпуклом пятиугольнике ABCDF диагонали AC и BF пересекаются в точке H, AF∥BC, FD∥AC, площадь AHF равна 2. Найдите площадь ABCD, если она в 3 раза больше площади ACDF, а площадь ABC в 4 раза больше площади CDF.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 6. Дано: x5y4−x4y5=64,x3y3(x3−y3)=200. Запишем наибольшее возможное рациональное значение выражения x3y3−x3+y3 в виде дроби nm, где n,m — натуральные числа, НОД (n,m)=1. Найдите 2n+m
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 7. Число p таково, что уравнение
x3−7=px
имеет три различных действительных корня. Найдите наименьшее возможное значение суммы кубов этих корней.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 8. Мы протираем лежащий на паркете прямоугольный ковёр размерами 300 на 150 прямоугольной шваброй размерами 40 на 30. Первоначально швабра помещается на паркет, полностью за пределами ковра. После этого швабру нельзя поворачивать, и нельзя отрывать от пола, но можно двигать по любой траектории — ковёр нужно протереть одним движением, причём швабра должна закончить своё движение на паркете. Паркет гладкий, поэтому по нему швабра скользит мгновенно, с <<бесконечно большой>> скоростью, но как только прямоугольник швабры хотя бы одной своей точкой задевает ковёр — скорость движения становится равна 4. Найдите наименьшее время, за которое можно протереть ковёр целиком.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ