[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

Олимпиада школьников «Ломоносов» проводится с 2005 года под девизом «via scientiarum», что в переводе с латыни означает «путь к знаниям». Олимпиада “Ломоносов” по Математике проходит 27 ноября- 4 декабря 2023 года для 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 классов. На нашем сайте вы можете найти полные официальные Задания и Ответы олимпиады.

[27.11-04.12.2023] Олимпиада Ломоносова по Математике ответы и задания для 5-11 классов

ЗАДАНИЯ 5-6 КЛАСС


1. Мама купила Пете три новых шнурка для кроссовок. Петя с удивлением обнаружил, что шнурки запутались и на каждом из них образовалось по 5 узлов. Потом он посчитал количество всех узелков. Какое число у него могло получиться? Если возможно несколько вариантов ответа, то в ответ запишите сумму полученных чисел.
Указание: если два или три шнурка завязались в узел между собой, то этот узел считается за один.

2. Определите годы жизни математика, жившего в 19 веке, если известно, что:
– год рождения содержит цифру 0,
– если сложить цифры года смерти и вычесть из полученного числа сумму цифр года рождения, то получится 5,
– последняя цифра года смерти больше последней цифры года рожения на 1,
– произведение ненулевых цифр года рождения и ненулевых цифр года смерти делится на 45.
В ответ запишите год рождения и год смерти без пробелов и запятых.

3. Четыре гонщика начали с общего старта движение по круговой дорожке. 1-й преодолевает круг за 15 минут, 2-й – за 35 минут, 3-й – за 21 минуту, 4-й за 14 минут. Через какое кол-во минут они в первый раз снова встретятся на старте?

4. На Московском шахматном турнире в этом году было не менее четырех шахматистов. Известно, что каждый игрок сыграл с каждым одинаковое число партий. Всего было проведено 34 тура. После одиннадцатого тура один игрок заметил, что у всех игроков число очков четное, а у него самого – нечетное. Определите число участников турнира.
В ответ запишите число.
Правила проведения шахматного турнира:
В одном туре все участники разбиваются на пары и играют между собой в парах по одной партии. Если число игроков – нечетное, то один игрок не играет и ждет следующего тура; в следующем туре он уже играет, а кто-то другой ждёт и т.д.; причем тогда каждый игрок должен пропустить одинаковое число туров.
При победе в партии игрок получает одно очко, при ничьей – пол очка и при проигрыше – ноль очков.

5. Квадрат со стороной 4 см поделили на 4 равные полоски, затем провели диагональ (см. рисунок). Найдите площадь закрашенной части в квадратных сантиметрах.

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

6. Ровно в 8:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 72 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 3 км/ч?

ЗАДАНИЯ 7-8 КЛАСС


1. На какое наибольшее число частей могут разбить пространство две поверхности, если одна из них — куб, а другая — конус? Они могут располагаться как угодно и быть любых размеров

2. Найдите наибольшее четырёхзначное число, дающее остаток 3 при делении на 11, остаток 6 при делении на 15 и остаток 17 при делении на 26.

3. Ровно в 9:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 69 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 12:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 2 км/ч.

4. Оля собирается в гости к подруге Маше к пяти часам вечера. Оля и Маша живут на одной стороне одной улицы: Оля — в 11 минутах ходьбы от ближайшей автобусной остановки, а Маша — в 12. Между их остановками есть ещё шесть остановок. Автобус ходит каждые 18 минут, и Оля рассчитала, что если она придёт на остановку в правильное время, то будет у Маши точно вовремя. В автобусе Оля погрузилась в чтение и не заметила, как уехала на 11 остановку дальше, чем живёт Маша. Она вышла из автобуса и перешла на противоположную сторону улицы, чтобы сесть на автобус, идущий в обратном направлении, но тот как раз в этот момент отъехал от остановки. Оле пришлось ждать следующего автобуса на 11 минуту дольше, чем она ехала на автобусе до этого. На следующем автобусе Оля доехала до нужной остановки и дошла до дома своей подруги. На сколько секунд Оля опоздала к Маше, если известно, что автобус проезжает каждую остановку за одно и то же время, а переход на другую сторону улицы занимает у Оли полминуты?

5. Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n+4S(n)=2025. Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.

6. Имеется набор из нескольких подряд идущих натуральных чисел. Известно, что их сумма в 60 раз больше минимального числа в наборе и в 40 раз больше максимального числа в наборе. Сколько чисел в этом наборе?

7. Найдите наименьшее возможное значение суммы 10 различных натуральных чисел, если известно, что она нечётна, а произведение любых 5 слагаемых в ней чётно.

ЗАДАНИЯ 9 КЛАСС


1. Числа x,y таковы, что

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

2. Ровно в 9:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 69 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 12:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 2 км/ч?

3. Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n+3S(n)=2025.Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.

4. Имеется набор из нескольких подряд идущих натуральных чисел. Известно, что их сумма в 75 раз больше минимального числа в наборе и в 50 раз больше максимального числа в наборе. Сколько чисел в этом наборе?

5. У Нади в аквариуме живут 5 рыбок. Каждый день в обед она насыпает им 30 граммов корма. Каждая рыбка съедает пропорциональное ее весу количество корма, причем к вечеру масса каждой рыбки увеличивается на 0.1% от съеденного.
Сегодня утром массы рыбок в граммах были таковы: (1,3,4,6,14).
Какова будет масса самой тяжелой рыбки через 6060 дней вечером?

6. Найдите наименьшее возможное значение суммы 14 различных натуральных чисел, если известно, что она нечётна, а произведение любых 7 слагаемых в ней чётно.

7. В ресторане <<Обломов>> выпекают 3 вида пирожков: с мясом, с рыбой, с грибами. Повар обратил внимание, что 25 ноября среди тех, кто заказывал по 5 пирожков, не повторился ни один набор пирожков. Какое максимальное количество посетителей <<Обломова>> могли заказать в этот день по 5 пирожков?

8. Найдите наименьшее значение выражения (a+3)(b+3)(c+3), если a,b,c — положительные числа, удовлетворяющие условию abc=1.

ЗАДАНИЯ 10 КЛАСС


1. У Нади в аквариуме живут 6 рыбок. Каждый день в обед она насыпает им 30 граммов корма. Каждая рыбка съедает пропорциональное ее весу количество корма, причем к вечеру масса каждой рыбки увеличивается на 0.1% от съеденного.
Сегодня утром массы рыбок в граммах были таковы: (1,3,4,4,9,21).
Какова будет масса самой тяжелой рыбки через 6464 дня вечером?

2. Числа x,y таковы, что

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

Найдите значение выражения

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

3. Ровно в 7:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 70 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 12:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 4 км/ч.

4. Найдите наименьшее значение выражения (a+3)(b+3)(c+3), если a,b,c — положительные числа, удовлетворяющие условию abc=1.

5. В ресторане <<Обломов>> выпекают 4 вида пирожков: с мясом, с рыбой, с грибами и с капустой. Повар обратил внимание, что 25 ноября среди тех, кто заказывал по 4 пирожка, не повторился ни один набор пирожков. Какое максимальное количество посетителей <<Обломова>> могли заказать в этот день по 4 пирожка?

6. Решите уравнение |x+|x+|x|||⋅|||−y|−y|−y|=2021. В целых числах. В ответ впишите сумму |x|+|y| для той пары решений, для которых величина |x|+|y| минимальна.

7. Сумма первых n членов последовательности {an} определяется формулой Sn=3n−1−13.На сколько процентов 10-й член этой последовательности больше, чем четвёртый ?

8. Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трех кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5.
Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у снеговика ведро вверх дном, нарисованное в виде равнобочной трапеции со сторонами 8, 8, 8 и 4. Какой высоты получился снеговик?

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

ЗАДАНИЯ 11 КЛАСС


1. Ровно в 6:00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 85 км от А, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11:00. Найдите собственные скорости катеров (в км/ч), если скорость течения реки равна 3 км/ч?

2. Решите уравнение |x+|x+|x|||⋅|||−y|−y|−y|=2021.| В целых числах. В ответ впишите сумму |x|+|y| для той пары решений, для которых величина |x|+|y| минимальна.

3. Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в 8/5 раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что оказалось внутри октаэдра. Какая доля (по объёму) куба осталась? Доведите дробь до несократимой и в ответе укажите сумму её числителя и знаменателя. Или, если ответ иррациональный (только в этом случае) запишите его в виде десятичной дроби, до второго знака после запятой.

4. Сумма первых n членов последовательности {an} определяется формулой Sn=3n−1−13..На сколько процентов 10-й член этой последовательности больше, чем пятый ?

5. Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трех кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у снеговика ведро вверх дном, нарисованное в виде равнобочной трапеции со сторонами 8, 8, 8 и 4. Какой высоты получился снеговик?

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

6. Какое наибольшее значение может иметь наименьший угол треугольника α, если его значение может меняться в пределах, заданных условием:

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

Ответ укажите в градусах

7. Найдите сумму всех значений x∈[0∘,10∘] в градусах, при каждом из которых выполнено равенство в градусах, при каждом из которых выполнено равенство

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

Эту сумму запишите в виде m/n,, где m,n взаимно простые натуральные числа. В ответе укажите m+n.

8. Решите систему

[2023-2024] Олимпиада «Ломоносов» по Математике

Если решений бесконечно много в ответ впишите 0. Если решений нет, то тоже впишите 0. Если решений конечное количество, в ответ впишите сумму всех x, при необходимости округлив результат до сотых (если при разных y найдутся одинаковые x — складывайте повторы, слагаемых должно получиться столько же, сколько точек на плоскости подходит под систему).