Олимпиада «Ломоносов» по Робототехнике 2023-2024 (задания и ответы)

Олимпиада школьников «Ломоносов» проводится с 2005 года под девизом «via scientiarum», что в переводе с латыни означает «путь к знаниям». Олимпиада “Ломоносов” по Робототехнике проходит 27 ноября- 4 декабря 2023 года для 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 классов. На нашем сайте вы можете найти полные официальные Задания и Ответы олимпиады.

[27.11-04.12.2023] Олимпиада Ломоносова по Робототехнике ответы и задания для 5-11 классов

ЗАДАНИЯ 5-7 КЛАСС


1. У Васи есть набор из семи шестерёнок. Использовав их, он собрал двухступенчатую передачу, ведомая ось которой может вращаться с максимально возможной скоростью. Набор состоит из шестерней с 20, 25, 30, 60, 75, 90 и 100 зубьями соответственно. Ведущая ось передачи вращается с частотой 5 оборотов в минуту. Определите, сколько оборотов совершит ведомая ось передачи за 20 секунд.

2. Робототехнический полигон имеет прямоугольную основу. К ней привинтили борта. В качестве разметки на полигоне нанесена толстая прямая линия, соединяющая середины противоположных сторон бортов. Линия расположена вдоль более длинной стороны основания. Расстояние между внутренними сторонами бортов поля, которые соединены линией, равно 2 м 10 см (см. Схему).

По заданию, робот должен проехать по прямой линии, коснуться противоположного бортика (контрольная точка), остановится, переключить направление вращения моторов, после чего вернутся тем же путем обратно и финишировать. Чтобы старт и финиш были засчитаны, робот должен касаться бортиков любой точкой корпуса.
Компоненты робота установлены на деревянную основу, имеющую форму круга. Радиус основы робота равен 15 см. Робот оснащен двумя колесами, расположенными симметрично относительно центра робота. Ширина колеи (расстояние между центрами колёс) робота равна 20 см. Диаметры колёс одинаковые и равны 5 см.
На максимальной мощности моторов робота оси каждого из моторов совершают 4 оборота в секунду. Определите, за сколько секунд робот выполнит задание, если моторы робота работают с мощностью, равной половине от максимальной. При расчетах примите π ≈ 3,14.

3. Почтальон собирается развезти письма. Для этого ему нужно посетить все улицы, на которых живут адресаты (см. схему). Почтальон находится в отделении почты (на схеме обозначено точкой C). После доставки всех писем он хочет сходить пообедать в кафе (точка М). Почтальон хотел бы сделать это за наименьшее время.

Отрезками на схеме обозначены улица. Кругами на схеме обозначены перекрестки, где почтальон может поменять направление движения. Цифрами на схеме обозначено время в минутах, которое потребуется почтальону, чтобы проехать по данной улице. Все указанные на схеме улицы почтальон должен посетить хотя бы по одному разу.
Какое наименьшее время в минутах потребуется почтальону на то, чтобы доставить все письма, после чего дойти до кафе? Для простоты считайте, что почтальон раскладывает письма по ящикам моментально.

4. Прямоугольная основа для поля склеена из квадратных досок (см. рисунок). Были использованы доски пяти типов. Длина стороны самой большой из них равна 40 см.

Рисунок

Определите, чему равна площадь получившейся прямоугольной основы.Ответ дайте в квадратных сантиметрах, приведя результат с точностью до целых.

5. Робот оснащён двумя отдельно управляемыми колёсами, расстояние между центрами колёс (ширина колеи) составляет 20 см, диаметр колеса робота 10 см, π ≈ 3,14. Левым колесом управляет мотор А, правым колесом управляет мотор В (см. Схему робота).

На роботе в центре колесной базы (в центре оси, соединяющей центры колес) расположен датчик освещенности. На робототехническом полигоне нарисован черный круг диаметром 60 см. Робот с помощью датчика движется по границе данного круга таким образом, что колесо В всегда находится внутри черного круга. При движении, колёса робота и точка, в которой находится датчик, описывают концентрические окружности.
Робот совершил один полный оборот по кругу. Определите, какой путь проделало колесо В за время одного полного оборота робота.

ЗАДАНИЯ 8-10 КЛАСС


1. Робот оснащён двумя отдельно управляемыми колёсами, расстояние между центрами колёс (ширина колеи) составляет 18 см, радиус колеса робота 8 см, π ≈ 3,14. Левым колесом управляет мотор А, правым колесом управляет мотор В (см. Схему робота).

На робототехническом полигоне установлен прямой круговой цилиндр. На робота установили датчик расстояния так, что он находится на линии оси колёс и направлен на цилиндр. Датчик расположен горизонтально.
Робот движется вокруг цилиндра так, что колесо В всегда находится дальше от цилиндра, чем колесо А, и датчик расстояния всегда направлен перпендикулярно поверхности цилиндра. Показания датчика расстояния даны на графике (см. График).

График

Известно, что за 5 полных оборотов робота вокруг цилиндра мотор В повернулся на 14400°. Определите, чему равен радиус цилиндра.

2. Почтальон собирается развезти письма. Для этого ему нужно посетить все улицы, на которых живут адресаты (см. схему). Почтальон находится в отделении почты (на схеме обозначено точкой A). После доставки всех писем он хочет сходить пообедать в кафе (точка M). Почтальон хотел бы сделать это за наименьшее время.

Отрезками на схеме обозначены улицы. Кругами на схеме обозначены перекрестки, где почтальон может поменять направление движения. Цифрами на схеме обозначено время в минутах, которое потребуется почтальону, чтобы проехать по данной улице. Все указанные на схеме улицы почтальон должен посетить хотя бы по одному разу.
Какое наименьшее время в минутах потребуется почтальону на то, чтобы доставить все письма, после чего дойти до кафе? Для простоты считайте, что на каждой улице почтальон раскладывает письма по ящикам моментально.

3. Первую четверть пути робот двигался с постоянной скоростью 2 см/с, следующие 30 секунд — с постоянной скоростью 4 см/с, а последнюю треть времени — со скоростью 6 см/с. Определите среднюю скорость робота на первой половине пути.

4. На робототехническом полигоне на баннере нанесена следующая разметка (см. рисунок). Узлы (вершины) фигуры обозначены латинскими заглавными буквами.

Известно, что ABFG, ABEH – прямоугольники, BCDF – равнобедренная трапеция с основаниями CD и BF. Радиус окружности, вписанной в четырёхугольник HEFG, равен 20 см, AB = ВС, AH=CD. Длина отрезка AG равна 2 м.
По заданию, робот должен посетить все вершины ровно по одному разу. Робот может двигаться только по линиям. Все повороты робот должен совершать в вершинах, пользуясь только танковым разворотом. Робот должен стартовать в вершине А и финишировать в вершине F. Определите минимальную длину траектории робота, при условии, что робот будет строго следовать заданию.

5. У Васи есть набор из восьми шестерёнок. Использовав их все, он собрал самую сильную трёхступенчатую передачу. Набор состоит из две шестерни с 30, две с 20, одна с 50, одна с 60, одна с 75 и одна с 90 зубьями соответственно. Ведущая ось передачи вращается с частотой 6 оборотов в минуту.
Ведомая ось передачи присоединили к двум барабанам диаметром 120 мм каждый. К данным барабанам привязали по тонкой, нерастяжимой и невесомой нити. Длины нитей равны. Через систему неподвижных блоков вторые концы нитей подведены к подъемному мосту. С другой стороны, мост соединён с полигоном с помощью петель. Мост может вращаться вокруг осей петель на 180°. В закрытом положении мост занимает строго вертикальное положение. В открытом — строго горизонтальное (см. Схему).

Схема

Длина моста равна 1 м. Определите, на сколько секунд нужно включить мотор, чтобы мост поменял положение из вертикального в горизонтальное. Трением в осях блоков пренебрегите! При расчётах примите π ≈ 3,14.Ответ дайте в секундах с точностью до целых.

ЗАДАНИЯ 11 КЛАСС


1. Почтальон собирается развезти письма. Для этого ему нужно посетить все улицы, на которых живут адресаты (см. схему). Почтальон находится в отделении почты (на схеме обозначено точкой A). После доставки всех писем он хочет сходить пообедать в кафе (точка C). Почтальон хотел бы сделать это за наименьшее время.

Отрезками на схеме обозначены улицы. Кругами на схеме обозначены перекрестки, где почтальон может поменять направление движения. Цифрами на схеме обозначено время в минутах, которое потребуется почтальону, чтобы проехать по данной улице. Все указанные на схеме улицы почтальон должен посетить хотя бы по одному разу.
Какое наименьшее время в минутах потребуется почтальону на то, чтобы, выйдя из здания почты (А), доставить все письма, после чего дойти до кафе (С)? Для простоты считайте, что на каждой улице почтальон раскладывает письма по ящикам за 5 минут. Для того, чтобы доставить все письма на одной улице, достаточно один раз по ней пройти и один раз разложить на ней письма.

2. На робототехническом полигоне установлена труба, сквозь которую должен проехать робот. Выход из трубы перекрыт заслонкой. Для поднятия заслонки собрали механизм, включающий в себя составной рычаг и противовес. Противовес изготовлен из пластикового ведра, дно которого выстлано мягкой тканью. Масса противовеса равна m = 0,5 кг. Масса заслонки равна M = 9 кг. Составной рычаг собран по следующей схеме (см. схему).

Составной рычаг собран из трёх балок и двух пружин одинаковой жесткости. Длина балки l1 = 1 м, длина а1 = 0,8 м, длина балки l2 = 1,2 м, длина а2 = 0,9 м, длина балки l3 = 1,2 м, длина а3 = 0,6 м.
Раздается звуковой сигнал, и в ведро начинают равномерно падать шарики. В начале в ведре нет шариков. Один шарик падает в ведро каждые 6 секунд. Масса одного шарика равна m0 = 20 г. Определите, через сколько секунд после звукового сигнала заслонка начнет подниматься. При расчетах массой балок и потерями энергии на трение в точках опоры и сжатии пружин можно пренебречь.Ответ дайте в секундах с точностью до целых.

3. Робот оснащён двумя отдельно управляемыми колёсами, расстояние между центрами колёс (ширина колеи) составляет 28 см, радиус колеса робота 9 см, π ≈ 3,14. Левым колесом управляет мотор А, правым колесом управляет мотор В (см. Схему робота).

На робототехническом полигоне установлен объект, составленный из куба и двух половин прямого кругового цилиндра. Высота цилиндра равна его диаметру и равна стороне куба (см. Объект). Объект имеет гладкую поверхность без ступенек.

На робота установили датчик расстояния так, что он находится на линии оси колёс и всегда направлен строго перпендикулярно к поверхности объекта. Датчик расположен горизонтально.
Робот движется вокруг объекта, объезжая его по периметру так, что колесо В всегда находится дальше от поверхности объекта, чем колесо А, и датчик расстояния всегда направлен перпендикулярно поверхности объекта. Показания датчика расстояния представлены на графике (см. График).

Известно, что за 4 полных оборота робота вокруг объекта мотор В повернулся на 18720°. Определите, чему равен радиус цилиндра.