Официальные Ответы, Решения и Задания для Олимпиады имени М. В. Ломоносова по Математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса дата проведения турнира онлайн на сайте 30 ноября- 7 декабря 2024. Цель Олимпиады — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.
Задания Ломоносова по Математике 10 класс:
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 160000⋅(1.25N+1.25N+1) – целое число? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 2. Улица имеет форму полосы длины 320 м и ширины 8 м. Вдоль каждого края улицы стоят фонари, каждый из которых освещает круг радиуса 17 м вокруг себя. Какое минимальное число фонарей надо расставить, чтобы улица была полностью освещена? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 3. Найти все значения параметра aa, при каждом из которых неравенство
выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений aa нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 4. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых.
Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 5. Дана окружность с центром O и радиусом 4√3. Проведена хорда AB, которая оказалась гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Диаметр окружности, проходящий через вершину C делится на четыре равных отрезка вершиной C треугольника, центром O окружности и точкой пересечения диаметра с хордой AB. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 6. Найдите ctg|x|, если известно, что (5cosx+7sinx+√2)(√2−√sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений ctg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 7. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BCBC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 8. 23 друга катаются на катке в форме правильного 46-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)Ответ округлить до десятых.
Показать ответ