Официальные Ответы, Решения и Задания для Олимпиады имени М. В. Ломоносова по Математике для 7, 8, 9, 10, 11 класса дата проведения турнира онлайн на сайте 30 ноября- 7 декабря 2024. Цель Олимпиады — дать участникам материал для размышлений и подтолкнуть интересующихся к серьёзным занятиям.
Задания Ломоносова по Математике 11 класс:
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 48000⋅(2.5N+2.5N+1) – целое число?Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 2. Во дворе стояли два ведёрка: первое в форме параллелепипеда с квадратным дном, высотой 56 см и стороной основания 19 см. Второе — в форме усечённой пирамиды с квадратными основаниями, сторона нижнего основания равна 16 см, сторона верхнего – 32 см. Начался дождь, в результате чего оба ведра наполнились до краев одновременно. Найдите высоту второго ведра. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений a нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 4. Найдите tg|x|, если известно, что (5sinx+3cosx+√2)(√11−√3sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений tg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 5. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 6. Пусть функция f(x) имеет конечное количество нулей и удовлетворяет условию
f(2x)⋅(x−1)=f(x)⋅(22024x−1),x∈R.
Найдите количество нулей функции f(x), лежащих в интервале [120242025,1]Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 7. Даны два одинаковых шара радиуса 1, касающихся друг друга. К ним добавили еще три одинаковых шара, быть может другого радиуса, касающихся друг друга и первых двух шаров. Какого радиуса должны быть эти шары? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ
Задание 8. 88 друзей катаются на катке в форме правильного 176-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
Показать ответ