На Zubrilka.Online можно приобрести материалы по Математкие для текущего 2024/2025 года, а также посмотреть Задания и Ответы прошлых лет (2016/2017 года).
Подготовка к Всероссийской олимпиаде школьников – ключ к успешному участию и высоким результатам. Наш сайт предлагает полезные ресурсы для подготовки. Получите доступ к проверенным материалам прошлых лет и повысьте свои шансы на победу в олимпиаде!
Задания и Ответы прошлых лет ВСОШ Школьный этап по Математике 10 класс 2016/2017
Задание 1. Точка O — центр квадрата ABCD. Найдите какие-нибудь семь
попарно неравных векторов с концами и началами в точках A, B, C, D, О, сумма
которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Решение. Например, подойдёт цепочка OA AC CD DA AB BD DO = 0.
Задание 2. Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так,
чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?
Ответ. Нет.
Решение. Если требуемое в задаче возможно, то числа, кратные шести, должны
разбиться на пары. Так как 800 = 133 ⋅ 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных шести,
ровно 133. Противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары.
Замечание. Среди чисел от 1 до 800 остаток 0 при делении на 6 дают 133 числа,
остаток 1 — 134 числа, остаток 2 — 134 числа, остаток 3 — 133 числа, остаток
4 — 133 числа, остаток 5 — 133 числа. Следовательно, противоречие также
можно получить иначе. Например, число, дающее остаток 1, должно быть
в паре с числом, дающим остаток 5. Значит, таких чисел должно быть поровну,
что не так.
Задание 3. Участвуя в шахматном турнире, Вася сыграл 52 партии. По
старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, 1 2 очка за ничью и 0 очков за
поражение) он набрал 35 очков. Сколько очков он набрал по новой системе
подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)?
Ответ. 18 очков.
Решение.
Первый способ. Пусть Вася в турнире a раз победил, b раз сыграл вничью и c
раз проиграл. Тогда a + b + c = 52, a + 2 b = 35. Нужно найти значение a – c. Из
второго соотношения следует, что b = 70 – 2a. Тогда a + (70 – 2a) + c = 52,
откуда 70 + c – a = 52, a – c = 18.
Второй способ. При системе подсчёта (1; 1 2 ; 0) Вася набрал 35 очков, значит,
при системе (2; 1; 0) он наберёт вдвое больше, то есть 70 очков.
При системе (1; 0; –1) Вася теряет по одному очку в каждой партии (по
сравнению с системой (2; 1; 0)). Значит, он наберёт 70 – 52 = 18 очков.
Задание 4. На координатной плоскости изображены графики функций 2 y x bx c = + + и 2 y x cx b = + + .
Найдите значения b и c. В ответе запишите уравнения каждой из функций.
Ответ. 2 y x x = + − 2 3 и 2 y x x = − + 3 2.
Решение. Некоторое число t является корнем обоих трёхчленов, поэтому
2 2 t bt c t ct b + + = + + , откуда ( )( 1) 0. b c t − − = Так как b c ≠ (иначе параболы
совпадут), получаем, что t =1. Если парабола 2 y x bx c = + + пересекает ось
абсцисс в точках –3 и 1, то по теореме, обратной теореме Виета b = –(–3 + 1) = 2,
с = –3 ⋅ 1 = –3.
Задание 5. Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения
высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол
при третьей вершине.
Ответ. 60°
Задание 6. Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных
в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до
37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со
второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих
карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37,
а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на
третьей карточке. Какое?
Ответ. 2.